Область значений функции \( y=\frac{x^{2}-4 x+4}{x^{2}-4 x+3} \) c

Чтобы найти область значений функции   y = (x² – 4x + 4) / (x² – 4x + 3), начнём с её преобразования. 1. Заметим, что числитель можно представить в виде полного квадрата:   x² – 4x + 4 = (x – 2)². 2. Знаменатель можно разложить на множители:   x² – 4x + 3 = (x – 1)(x – 3). Таким образом, функция примет вид   y = (x – 2)² / [(x – 1)(x – 3)]. Заметим, что при x = 1 и x = 3 функция не определена (нулевой знаменатель). 3. Для поиска области значений удобно записать функцию в виде "единица плюс дробь". Заметим, что   x² – 4x + 4 = (x² – 4x + 3) + 1. Тогда   y = [x² – 4x + 3 + 1] / (x² – 4x + 3) = 1 + 1/(x² – 4x + 3). 4. Чтобы упростить анализ, выразим знаменатель через полный квадрат:   x² – 4x + 3 = (x – 2)² – 1. Обозначим   t = (x – 2)². Так как квадрат любого числа неотрицателен, t ≥ 0. При этом обратите внимание, что при x = 1 или 3 имеем (x – 2)² = 1, а эти x не входят в область определения, то есть t ≠ 1. Функция переписывается как   y = 1 + 1/(t – 1),  где t ∈ [0, +∞) и t ≠ 1. 5. Теперь рассмотрим два случая в зависимости от t.   а) Если t > 1, то (t – 1) > 0. Пусть w = t – 1, тогда     y = 1 + 1/w.    Когда w → 0⁺ (т.е. t → 1⁺), y → +∞, а когда w → +∞ (t → +∞), y → 1.    Получаем, что при t > 1 y принимает все значения из интервала (1, +∞).   б) Если t < 1, то (t – 1) < 0. Тогда    при t = 0: y = 1 + 1/(-1) = 0.    При t → 1⁻, знаменатель стремится к 0 отрицательно, и y → –∞.    Таким образом, при t ∈ [0, 1) функция y непрерывно убывает от y = 0 до –∞, то есть принимает все значения из интервала (–∞, 0]. При этом y = 0 действительно достигается, например, при x = 2, поскольку (2 – 2)² = 0. 6. Рассмотрим, могут ли значения y из промежутка [0, 1] (точнее, (0, 1)) получаться. Из анализа видно, что при t < 1 y ≤ 0, а при t > 1 y > 1. Значение y = 1 невозможно, так как равенство   1 + 1/(t – 1) = 1 приводит к 1/(t – 1) = 0, что не имеет решения. Вывод: Область значений функции y = (x² – 4x + 4)/(x² – 4x + 3) равна объединению интервалов   (–∞, 0] ∪ (1, +∞). То есть функция может принимать любые значения, меньшие или равные 0 и любые значения больше 1.