¿Cuál es el valor de la matriz \( X \) en la ecuación \( A X+B=C ? \), donde: \( A=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 3 & 4\end{array}\right) \) \( B=\left(\begin{array}{ll}2 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right) \) \( C=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 1 & 3\end{array}\right) \) a. \( X=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 1 & 3\end{array}\right) \) b. \( X=\left(\begin{array}{cc}-4 & 2 \\ 3 & -1\end{array}\right) \) c. \( X=\left(\begin{array}{cc}-1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right) \) d. \( X=\left(\begin{array}{cc}6 & -4 \\ -1 & 3\end{array}\right) \)

Para encontrar el valor de la matriz \( X \) en la ecuación \( A X + B = C \), primero debemos despejar \( X \): \[ A X = C - B \] Ahora, calculamos \( C - B \): \[ C - B = \left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 1 & 3\end{array}\right) - \left(\begin{array}{ll}2 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{ll}1-2 & 2-1 \\ 1-1 & 3-1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{ll}-1 & 1 \\ 0 & 2\end{array}\right) \] Ahora tenemos: \[ A X = \left(\begin{array}{ll}-1 & 1 \\ 0 & 2\end{array}\right) \] Para resolver \( A X = \left(\begin{array}{ll}-1 & 1 \\ 0 & 2\end{array}\right) \), necesitamos encontrar la inversa de \( A \) y multiplicarla por el resultado anterior. La matriz \( A \) es: \[ A = \left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 3 & 4\end{array}\right) \] Calculamos la inversa de \( A \): \[ \text{det}(A) = (1)(4) - (1)(3) = 4 - 3 = 1 \] La inversa de \( A \) se calcula como: \[ A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \left(\begin{array}{ll}d & -b \\ -c & a\end{array}\right) = \left(\begin{array}{ll}4 & -1 \\ -3 & 1\end{array}\right) \] Ahora multiplicamos \( A^{-1} \) por \( C - B \): \[ X = A^{-1} (C - B) = \left(\begin{array}{ll}4 & -1 \\ -3 & 1\end{array}\right) \left(\begin{array}{ll}-1 & 1 \\ 0 & 2\end{array}\right) \] Realizamos la multiplicación: \[ X = \left(\begin{array}{ll}4 \cdot (-1) + (-1) \cdot 0 & 4 \cdot 1 + (-1) \cdot 2 \\ -3 \cdot (-1) + 1 \cdot 0 & -3 \cdot 1 + 1 \cdot 2\end{array}\right) = \left(\begin{array}{ll}-4 & 2 \\ 3 & -1\end{array}\right) \] Por lo tanto, el valor de la matriz \( X \) es: \[ X = \left(\begin{array}{cc}-4 & 2 \\ 3 & -1\end{array}\right) \] La respuesta correcta es la opción **b**: b. \( X=\left(\begin{array}{cc}-4 & 2 \\ 3 & -1\end{array}\right) \)