2. Интегралды есептеңіз: $$ \int_{0}^{\mathrm{a}}(2 \mathrm{x}-5) \mathrm{dx} \leq 6 $$ теңсіздігін қанағаттандыратын параметр а-ның барлық мәндерін табыңыз. A) $$ [1 ; 6] $$ B) $$ [-\infty ; 9] $$ C) $$ [0 ; 3] $$ D) $$ [-1 ; 6] $$ 3. $$ \int_{1}^{4} \frac{6}{x \sqrt{x}} d x $$ A) 10 B) 16 C) 6 D) 18 4. Интегралды есептеңіз: $$ \int_{2}^{4}(3 x-6)^{2} d x $$ A) 18 B) 24 C) 36 D) 42 5. Интегралды есептеніз: $$ \int_{1}^{2} \frac{d x}{\sqrt{x+3}} $$ A) $$ 2 \sqrt{5}-4 $$ B) $$ \sqrt{5}+2 $$ C) $$ 4-2 \sqrt{5} $$ D) $$ 2 \sqrt{5}+2 $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

**2. Решим неравенство**  
Найдем определённый интеграл:  
$$
\int_{0}^{a} (2x-5)\,dx = \left[ x^2 - 5x \right]_{0}^{a} = a^2 - 5a.
$$
Получаем неравенство:
$$
a^2 - 5a \le 6.
$$
Переносим 6 в левую часть:
$$
a^2 - 5a - 6 \le 0.
$$
Найдём корни квадратного уравнения $$ a^2 - 5a - 6 = 0 $$.  
Дискриминант:
$$
D = (-5)^2 - 4\cdot1\cdot(-6) = 25 + 24 = 49.
$$
Корни уравнения:
$$
a = \frac{5 \pm 7}{2}.
$$
Таким образом, получаем:
$$
a_1 = \frac{5-7}{2} = -1, \quad a_2 = \frac{5+7}{2} = 6.
$$
Так как парабола направлена вверх, неравенство выполняется на промежутке между корнями:
$$
a \in [-1;6].
$$
Правильный ответ – вариант **D**.

---

**3. Вычислим интеграл**  
$$
\int_{1}^{4} \frac{6}{x\sqrt{x}}\,dx.
$$
Упростим подинтегральное выражение:
$$
\frac{6}{x\sqrt{x}} = \frac{6}{x^{3/2}} = 6x^{-3/2}.
$$
Найдём первообразную для $$x^{-3/2}$$:
$$
\int x^{-3/2}\,dx = \frac{x^{-1/2}}{-\frac{1}{2}} = -2x^{-1/2}.
$$
Таким образом, интеграл равен:
$$
6\cdot\left[-2x^{-1/2}\right]_{1}^{4} = -12\left[\frac{1}{\sqrt{x}}\right]_{1}^{4}.
$$
Подставим пределы:
$$
-12\left(\frac{1}{\sqrt{4}} - \frac{1}{\sqrt{1}}\right) = -12\left(\frac{1}{2} - 1\right) = -12\left(-\frac{1}{2}\right) = 6.
$$
Правильный ответ – вариант **C**.

---

**4. Вычислим интеграл**  
$$
\int_{2}^{4} (3x-6)^2\,dx.
$$
Заметим, что:
$$
(3x-6)^2 = 9(x-2)^2.
$$
Тогда интеграл становится:
$$
9\int_{2}^{4} (x-2)^2\,dx.
$$
Сделаем замену: $$ t = x - 2 $$, тогда $$ dt = dx $$. При $$ x = 2 $$ получаем $$ t = 0 $$, а при $$ x = 4 $$ – $$ t = 2 $$. Интеграл приобретает вид:
$$
9\int_{0}^{2} t^2\,dt.
$$
Вычисляем:
$$
\int t^2\,dt = \frac{t^3}{3}.
$$
Подставляем пределы:
$$
9\left[\frac{t^3}{3}\right]_{0}^{2} = 9\cdot\frac{8}{3} = 24.
$$
Правильный ответ – вариант **B**.

---

**5. Вычислим интеграл**  
$$
\int_{1}^{2} \frac{dx}{\sqrt{x+3}}.
$$
Сделаем замену: $$ u = x+3 $$, тогда $$ du = dx $$. При $$ x = 1 $$ получаем $$ u = 4 $$, а при $$ x = 2 $$ – $$ u = 5 $$. Интеграл становится:
$$
\int_{4}^{5} u^{-1/2}\,du.
$$
Найдем первообразную:
$$
\int u^{-1/2}\,du = \frac{u^{1/2}}{\frac{1}{2}} = 2\sqrt{u}.
$$
Вычисляем:
$$
2\sqrt{u}\Big|_{4}^{5} = 2(\sqrt{5}-\sqrt{4}) = 2(\sqrt{5}-2) = 2\sqrt{5}-4.
$$
Правильный ответ – вариант **A**.
**2.** Параметр $$ a $$ должен удовлетворять неравенству $$ a \in [-1;6] $$. **3.** Интеграл равен 6. **4.** Интеграл равен 24. **5.** Интеграл равен $$ 2\sqrt{5}-4 $$.

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

Beyond the Answer

Related Questions

Latest Calculus Questions