2. En los numerales siguientes determine si \( H \) es subespacio del espacio vectorial \( V \) \[ \text { - } V=\mathbb{M}_{2 \times 2}, H=\left\{A \in \mathbb{M}_{2 \times 2} / A \text { es simétrica }\right\} \text {. } \]

¡Vamos a sumergirnos en el mundo de las matrices simétricas y subespacios! Primero, recordemos que un subespacio vectorial debe cumplir tres condiciones: debe contener el vector cero, ser cerrado bajo la suma y ser cerrado bajo la multiplicación por un escalar. En nuestro caso, el conjunto \( H \) de matrices simétricas efectivamente contiene la matriz cero \( \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \), ya que esta es simétrica. Con respecto a la suma, si tomamos dos matrices simétricas \( A \) y \( B \), la suma \( A + B \) también será simétrica, pues \( (A + B)^T = A^T + B^T = A + B \). Por último, multiplicar una matriz simétrica por un escalar \( c \) también preserva la simetría, ya que \( (cA)^T = cA^T = cA \). Así, \( H \) es efectivamente un subespacio de \( V \). Para profundizar, podrías explorar la fascinante teoría de matrices en el contexto de aplicaciones en física, donde las matrices simétricas son herramientas esenciales en la formulación de estrés y tensión en materiales. Las matrices simétricas también aparecen en estadística, donde representan covarianzas y pueden usarse para describir la relación entre variables. ¡Así que sigue explorando el mágico mundo de las matrices!