3- Sean \( a, b \in \mathbb{Z} \). Demuestra que \( |a|=|b| \) si y solo si \( a=b \quad \circ \quad a=-b \).

Para demostrar que \( |a| = |b| \) si y solo si \( a = b \) o \( a = -b \), primero consideramos la definición del valor absoluto. El valor absoluto \( |x| \) de un número entero \( x \) se define como: \[ |x| = \begin{cases} x & \text{si } x \geq 0 \\ -x & \text{si } x < 0 \end{cases} \] **(⇒)** Supongamos que \( |a| = |b| \). Esto implica que \( a \) y \( b \) podrían ser iguales o sus opuestos. Si consideramos dos casos: 1. Si ambos son no negativos, es decir, \( a \geq 0 \) y \( b \geq 0 \), entonces \( a = |a| \) y \( b = |b| \) implica que \( a = b \). 2. Si \( a \) es no negativo y \( b \) es negativo, entonces \( |b| = -b \) y, dado que \( |a| = |b| \) implica \( a = -b \) (porque \( -b \) es positivo). 3. Finalmente, si ambos son negativos, \( |a| = -a \) y \( |b| = -b \) implica una vez más que \( -a = -b \), así que \( a = b \). Por lo tanto, si \( |a| = |b| \) entonces se cumple que \( a = b \) o \( a = -b \). **(⇐)** Ahora, lo contrario: supongamos que \( a = b \) o \( a = -b \). 1. Si \( a = b \), entonces claramente \( |a| = |b| \) ya que son el mismo número. 2. Si \( a = -b \), entonces según la definición de valor absoluto, tenemos \( |a| = |-b| \) que es igual a \( |b| \) porque el valor absoluto de un número negativo es el mismo que el de su opuesto. Por tanto, si \( a = b \) o \( a = -b \), se cumple que \( |a| = |b| \). Así, hemos demostrado que \( |a| = |b| \) si y solo si \( a = b \) o \( a = -b\).