$$ \left. \begin{array} { l } { ( 3 b ^ { 3 } + a ) ^ { 6 } } \ { ( b ^ { 3 } c + 4 a ^ { 2 } ) ^ { 6 } } \ { ( 3 b c ^ { 2 } + 4 a ^ { 5 } ) ^ { 4 } } \end{array} ight. $$

Question

$$ \left. \begin{array} { l } { ( 3 b ^ { 3 } + a ) ^ { 6 } } \ { ( b ^ { 3 } c + 4 a ^ { 2 } ) ^ { 6 } } \ { ( 3 b c ^ { 2 } + 4 a ^ { 5 } ) ^ { 4 } } \end{array} ight. $$

UpStudy AI · Accepted Answer

Consideramos cada expresión y aplicamos el teorema del binomio para desarrollarlas.

**1) Expansión de $$\,(3b^3 + a)^6$$**

Utilizando el teorema del binomio  
$$
(x+y)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^{n-k}y^k,
$$
identificamos en este caso  
$$
x=3b^3,\quad y=a,\quad n=6.
$$
Por ello, la expansión es
$$
(3b^3+a)^6=\sum_{k=0}^{6}\binom{6}{k}(3b^3)^{6-k}a^k.
$$
Observando que $$(3b^3)^{6-k}=3^{6-k}b^{3(6-k)}$$, se puede escribir
$$
(3b^3+a)^6=\sum_{k=0}^{6}\binom{6}{k}3^{6-k}b^{3(6-k)}a^k.
$$

---

**2) Expansión de $$\,(b^3c+4a^2)^6$$**

Identificamos los términos  
$$
x=b^3c,\quad y=4a^2,\quad n=6.
$$
Aplicando el binomio, obtenemos
$$
(b^3c+4a^2)^6=\sum_{k=0}^{6}\binom{6}{k}(b^3c)^{6-k}(4a^2)^k.
$$
Notamos que $$(b^3c)^{6-k}=b^{3(6-k)}c^{6-k}$$ y $$(4a^2)^k=4^ka^{2k}$$. Entonces,
$$
(b^3c+4a^2)^6=\sum_{k=0}^{6}\binom{6}{k}4^k\,b^{3(6-k)}c^{6-k}a^{2k}.
$$

---

**3) Expansión de $$\,(3bc^2+4a^5)^4$$**

En este caso, tomamos  
$$
x=3bc^2,\quad y=4a^5,\quad n=4.
$$
Aplicando el teorema del binomio:
$$
(3bc^2+4a^5)^4=\sum_{k=0}^{4}\binom{4}{k}(3bc^2)^{4-k}(4a^5)^k.
$$
Escribiendo cada potencia, notamos que $$(3bc^2)^{4-k}=3^{4-k}b^{4-k}c^{2(4-k)}$$ y $$(4a^5)^k=4^ka^{5k}$$. Así se tiene
$$
(3bc^2+4a^5)^4=\sum_{k=0}^{4}\binom{4}{k}3^{4-k}4^k\,b^{4-k}c^{2(4-k)}a^{5k}.
$$

---

Hemos obtenido la expansión de cada una de las expresiones en forma sumatoria utilizando el teorema del binomio.
Se expandieron las expresiones utilizando el teorema del binomio y se presentaron en forma de sumatorias para cada una.

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