Rioanplo
Aplicar el método de Newton-Raphson para aprocimar la solución de
La ecuación con una tolcrancia en menor a .

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Mar 13,2025

Question

Rioanplo Aplicar el método de Newton-Raphson para aprocimar la solución de La ecuación $$ x c^{2}-2=0 $$ con una tolcrancia en $$ \left|f\left(p_{i}\right)\right| $$ menor a $$ 10^{-5} $$.

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Sea la función $$ f(x)=x^2-2, $$ con la derivada $$ f'(x)=2x. $$ Utilizaremos el método de Newton-Raphson, cuya fórmula de iteración es $$ p_{n+1}=p_n-\frac{f(p_n)}{f'(p_n)}. $$ Esta fórmula aplicada a nuestra función se convierte en $$ p_{n+1}=p_n-\frac{p_n^2-2}{2p_n}=\frac{1}{2}\left(p_n+\frac{2}{p_n}\right). $$ Se pide acotar la solución hasta que se cumpla $$ \left|f(p_i)\right|<10^{-5}. $$ Utilizaremos como aproximación inicial $$ p_0=1 $$. ### Iteración 1 Con $$ p_0=1 $$: $$ p_1=\frac{1}{2}\left(1+\frac{2}{1}\right)=\frac{1}{2}(1+2)=\frac{3}{2}=1.5. $$ Evaluamos $$ f(p_1)=1.5^2-2=2.25-2=0.25. $$ Como $$ |0.25| > 10^{-5} $$, pasamos a la siguiente iteración. ### Iteración 2 Con $$ p_1=1.5 $$: $$ p_2=\frac{1}{2}\left(1.5+\frac{2}{1.5}\right)=\frac{1}{2}\left(1.5+1.\overline{3}\right)=\frac{1}{2}\left(2.83333\ldots\right)\approx1.41667. $$ Evaluamos $$ f(p_2)=1.41667^2-2\approx2.00694-2=0.00694. $$ Como $$ |0.00694| > 10^{-5} $$, requerimos una siguiente iteración. ### Iteración 3 Con $$ p_2\approx1.41667 $$: $$ p_3=\frac{1}{2}\left(1.41667+\frac{2}{1.41667}\right). $$ Calculamos la fracción: $$ \frac{2}{1.41667}\approx1.41176. $$ Entonces: $$ p_3\approx\frac{1}{2}\left(1.41667+1.41176\right)=\frac{1}{2}(2.82843)\approx1.414215. $$ Evaluamos $$ f(p_3)=1.414215^2-2. $$ Dado que $$ 1.414215^2\approx2.00000 $$, se tiene $$ \left|f(p_3)\right|\approx\left|2.00000-2\right|<10^{-5}. $$ ### Conclusión La aproximación a la solución de la ecuación $$ x^2-2=0 $$ (que corresponde a la raíz cuadrada de 2) con la tolerancia solicitada es $$ p_3\approx1.414215. $$ La solución de la ecuación $$ x^2 - 2 = 0 $$ es aproximadamente $$ x \approx 1.414215 $$ con una tolerancia menor a $$ 10^{-5} $$.

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La ecuación con una tolcrancia en menor a .

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Solution

Iteración 1

Iteración 2

Iteración 3

Conclusión

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