La derivada de la función \( h(x)=\frac{3 x-\cos x}{\sin x-3} \)

Sea \[ u(x)=3x-\cos x \quad \text{y} \quad v(x)=\sin x-3. \] Entonces, sus derivadas son \[ u'(x)=3+\sin x \quad \text{y} \quad v'(x)=\cos x. \] La regla del cociente establece que la derivada de \( h(x)=\frac{u(x)}{v(x)} \) es \[ h'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{\bigl(v(x)\bigr)^2}. \] Sustituyendo las funciones y sus derivadas, se tiene: \[ h'(x)=\frac{(3+\sin x)(\sin x-3)-(3x-\cos x)(\cos x)}{(\sin x-3)^2}. \] Procedemos a simplificar el numerador. Primero, expandimos \((3+\sin x)(\sin x-3)\): \[ (3+\sin x)(\sin x-3)= 3\sin x-9+\sin^2 x-3\sin x = \sin^2 x-9. \] Ahora, el numerador queda: \[ \sin^2 x-9-(3x-\cos x)\cos x. \] Expandiendo: \[ \sin^2 x-9-3x\cos x+\cos x\cos x = \sin^2 x-9-3x\cos x+\cos^2 x. \] Utilizando la identidad \(\sin^2 x+\cos^2 x=1\), tenemos: \[ \sin^2 x+\cos^2 x-9-3x\cos x = 1-9-3x\cos x = -8-3x\cos x. \] Por lo que la derivada de la función es: \[ h'(x)=\frac{-8-3x\cos x}{(\sin x-3)^2}. \]