ข้อ 80. กำหนดให้ $$ 3^{a-b}=4 $$ และ $$ 2^{a+b}=5 $$ จงหาค่าของ $$ 3^{a^{2}-b^{2}} $$ ( เมื่อ $$ a, b $$ เป็นจำนวนจริงใดๆที่ไม่เท่ากับ 0 ) $$ \begin{array}{llll}1.9 & 2.16 & 3.20 & ext { 4. } 25\end{array} $$

Question

ข้อ 80. กำหนดให้ $$ 3^{a-b}=4 $$ และ $$ 2^{a+b}=5 $$ จงหาค่าของ $$ 3^{a^{2}-b^{2}} $$ ( เมื่อ $$ a, b $$ เป็นจำนวนจริงใดๆที่ไม่เท่ากับ 0 ) $$ \begin{array}{llll}1.9 & 2.16 & 3.20 & 	ext { 4. } 25\end{array} $$

UpStudy AI · Accepted Answer

เริ่มต้นจากโจทย์ที่ให้ว่า  
$$
3^{a-b}=4 \quad \text{และ} \quad 2^{a+b}=5
$$

เราต้องการหาค่า  
$$
3^{a^2-b^2}
$$

สังเกตว่า  
$$
a^2-b^2=(a-b)(a+b)
$$

จึงเขียนใหม่ได้ว่า  
$$
3^{a^2-b^2}=3^{(a-b)(a+b)}
$$

เนื่องจากโจทย์ให้ว่า  
$$
3^{a-b}=4 \quad \Rightarrow \quad a-b=\log_3 4
$$
และ  
$$
2^{a+b}=5 \quad \Rightarrow \quad a+b=\log_2 5
$$

แทนค่าในสมการ  
$$
3^{a^2-b^2}= 3^{\left(\log_3 4\right)\left(\log_2 5\right)}
$$

ใช้คุณสมบัติของเลขชี้กำลังที่ว่า  
$$
3^{\log_3 4} = 4
$$
เราจะนำมาปรับใหม่โดยเขียนเป็น  
$$
3^{\left(\log_3 4\right)\left(\log_2 5\right)} = \left(3^{\log_3 4}\right)^{\log_2 5} = 4^{\log_2 5}
$$

สังเกตว่า $$4=2^2$$ จึงแทนได้ว่า  
$$
4^{\log_2 5} = \left(2^2\right)^{\log_2 5} = 2^{2\log_2 5}
$$

ใช้คุณสมบัติของลอการิทึมที่ว่า  
$$
2^{\log_2 5}=5
$$
จึงได้ว่า  
$$
2^{2\log_2 5} = \left(2^{\log_2 5}\right)^2 = 5^2 = 25
$$

ดังนั้นคำตอบคือ  
$$
\boxed{25}
$$
$$ 3^{a^2 - b^2} = 25 $$

ข้อ 80. กำหนดให้ และ
จงหาค่าของ
( เมื่อ เป็นจำนวนจริงใดๆที่ไม่เท่ากับ 0 )

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

Bonus Knowledge

Related Questions

Latest Algebra Questions

ข้อ 80. กำหนดให้ และ จงหาค่าของ ( เมื่อ เป็นจำนวนจริงใดๆที่ไม่เท่ากับ 0 )