6. \( \frac{d y}{d x}+2 x y^{2}=0 \)

Vamos a resolver la ecuación diferencial   (dy/dx) + 2x·y² = 0 Esta ecuación es separable, por lo que podemos escribirla de la forma:   dy/dx = –2x·y² Separamos las variables (y y x):   (1/y²) dy = –2x dx Ahora integramos ambos lados:   ∫ (1/y²) dy = ∫ (–2x) dx Realizamos las integrales:   ∫ y^(–2) dy = –y^(–1) + C₁   ∫ (–2x) dx = –x² + C₂ Podemos agrupar las constantes de integración en una sola constante arbitraria. Así, tenemos:   –1/y = –x² + C Multiplicamos toda la ecuación por –1:   1/y = x² – C Renombramos (–C) como otra constante arbitraria, digamos C₁, de modo que la solución se puede escribir como:   1/y = x² + C₁ O, de forma explícita:   y(x) = 1/(x² + C₁) Esta es la solución general de la ecuación diferencial dada.