3. Calcular la mínima distancia de la recta que pasa por los puntos $$ (2 / 7,3) $$ y $$ (-2,11) $$ al punto $$ (- $$ $$ 3,-5) $$.

Question

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1. **Determinar la ecuación de la recta**

Dados los puntos $$ \left(\frac{2}{7},3\right) $$ y $$ (-2,11) $$, se calcula la pendiente $$ m $$:

$$
   m = \frac{11-3}{-2-\frac{2}{7}} = \frac{8}{-\frac{16}{7}} = -\frac{7}{2}.
   $$

Usando la forma punto-pendiente con el punto $$ \left(\frac{2}{7},3\right) $$:

$$
   y-3 = -\frac{7}{2}\left(x-\frac{2}{7}\right).
   $$

Pasando a la forma pendiente-intersección, se despeja $$ y $$:

$$
   y = -\frac{7}{2}x + \frac{7}{2}\cdot\frac{2}{7} + 3 = -\frac{7}{2}x + 1 + 3 = -\frac{7}{2}x + 4.
   $$

2. **Expresar la ecuación en forma general**

Para aplicar la fórmula de la distancia, se escribe la recta en forma general $$ Ax+By+C=0 $$. Partiendo de

$$
   y = -\frac{7}{2}x + 4,
   $$

se suma $$ \frac{7}{2}x $$ a ambos lados y se reordena:

$$
   \frac{7}{2}x + y - 4 = 0.
   $$

De aquí se identifican:

$$
   A=\frac{7}{2}, \quad B=1, \quad C=-4.
   $$

3. **Cálculo de la distancia mínima**

La distancia $$ d $$ desde el punto $$ (-3,-5) $$ a la recta viene dada por:

$$
   d = \frac{\left|A\cdot(-3)+B\cdot(-5)+C\right|}{\sqrt{A^2+B^2}}.
   $$

Sustituyendo los valores:

$$
   d = \frac{\left|\frac{7}{2}\cdot(-3) + 1\cdot(-5) - 4\right|}{\sqrt{\left(\frac{7}{2}\right)^2+1^2}}.
   $$

Se calcula el numerador:

$$
   \frac{7}{2}\cdot(-3) = -\frac{21}{2}, \quad \text{entonces} \quad -\frac{21}{2} - 5 - 4 = -\frac{21}{2} - 9 = -\frac{21+18}{2} = -\frac{39}{2}.
   $$

Tomando el valor absoluto:

$$
   \left|-\frac{39}{2}\right| = \frac{39}{2}.
   $$

Se calcula el denominador:

$$
   \sqrt{\left(\frac{7}{2}\right)^2+1^2} = \sqrt{\frac{49}{4}+1} = \sqrt{\frac{49+4}{4}} = \sqrt{\frac{53}{4}} = \frac{\sqrt{53}}{2}.
   $$

Así, la distancia es:

$$
   d = \frac{\frac{39}{2}}{\frac{\sqrt{53}}{2}} = \frac{39}{\sqrt{53}}.
   $$

Opcionalmente, racionalizando el denominador:

$$
   d = \frac{39\sqrt{53}}{53}.
   $$

4. **Respuesta final**

La mínima distancia desde el punto $$ (-3,-5) $$ a la recta que pasa por $$ \left(\frac{2}{7},3\right) $$ y $$ (-2,11) $$ es

$$
   \frac{39}{\sqrt{53}} \quad \text{o} \quad \frac{39\sqrt{53}}{53}.
   $$
La mínima distancia es $$ \frac{39}{\sqrt{53}} $$ o $$ \frac{39\sqrt{53}}{53} $$.

Calcular la mínima distancia de la recta que
pasa por los puntos y al punto
.

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Calcular la mínima distancia de la recta que pasa por los puntos y al punto .