Numéro d'étudiant : La qualité de la rédaction sera prise en compte. Exercice 1. Soit \[ \mathcal{B}=\left\{\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right]\right\} \] la base canonique de \( \operatorname{Mat}_{2}(\mathbb{R}) \) et soit \( f: \operatorname{Mat}_{2}(\mathbb{R}) \rightarrow \operatorname{Mat}_{2}(\mathbb{R}) \) l'endomorphisme de \( \operatorname{Mat}_{2}(\mathbb{R}) \) tel que, en base canonique, \[ f\left(\left[\begin{array}{ll} x_{1} & x_{2} \\ x_{3} & x_{4} \end{array}\right]\right)=\left(\left[\begin{array}{cc} x_{1}+2 x_{3} & 2 x_{1}-x_{2}+4 x_{3}-2 x_{4} \\ -x_{3} & -2 x_{3}+x_{4} \end{array}\right]\right) \] (a) Montrer que \[ A=\mu_{\mathcal{B}, \mathcal{B}}(f)=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 2 & 0 \\ 2 & -1 & 4 & -2 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 & 1 \end{array}\right) \] où \( \mu_{\mathcal{B}, \mathcal{B}}(f) \) est la matrice associée à \( f \) dans la base canonique. (b) Déterminer le polynôme caractéristique \( \chi_{f}(x) \). (c) Déterminer les valeurs propres de \( f \), leurs multiplicités algébriques et montrer que l'endomorphisme \( f \) est diagonalisable. (d) Déterminer une base \( \mathcal{B}^{\prime} \) de \( \operatorname{Mat}_{2}(\mathbb{R}) \) formée de vecteurs propres de \( \operatorname{Mat}_{2}(\mathbb{R}) \), la matrice de changement de base \( P:=\mu_{\mathcal{B}^{\prime}, \mathcal{B}}\left(\operatorname{Id}_{\operatorname{Mat}_{2}(\mathbb{R})}\right) \) et la matrice diagonale \( D:=\mu_{\mathcal{B}^{\prime}, \mathcal{B}^{\prime}}(f) \) telles que \[ \mu_{\mathcal{B}^{\prime}, \mathcal{B}^{\prime}}(f)=\left(\mu_{\mathcal{B}^{\prime}, \mathcal{B}}\left(\operatorname{Id}_{\operatorname{Mat}_{2}(\mathbb{R})}\right)\right)^{-1} \mu_{\mathcal{B}, \mathcal{B}}(f) \mu_{\mathcal{B}^{\prime}, \mathcal{B}}\left(\operatorname{Id}_{\operatorname{Mat}_{2}(\mathbb{R})}\right) \] Autrement dit, \[ D=P^{-1} A P \] où \( A=\mu_{\mathcal{B}, \mathcal{B}}(f) \).

Pour résoudre cet exercice, nous allons procéder étape par étape en suivant les différentes parties de la question. ### (a) Montrer que la matrice associée à \( f \) est donnée par \( A \) Nous devons montrer que la matrice associée à l'endomorphisme \( f \) dans la base canonique \( \mathcal{B} \) est bien celle donnée. Pour cela, nous allons appliquer \( f \) à chaque vecteur de la base \( \mathcal{B} \) et exprimer le résultat en termes de la base \( \mathcal{B} \). Les vecteurs de la base \( \mathcal{B} \) sont : \[ \mathbf{e_1} = \left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right], \quad \mathbf{e_2} = \left[\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}\right], \quad \mathbf{e_3} = \left[\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{array}\right], \quad \mathbf{e_4} = \left[\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right] \] Calculons \( f(\mathbf{e_1}) \), \( f(\mathbf{e_2}) \), \( f(\mathbf{e_3}) \), et \( f(\mathbf{e_4}) \) : 1. **Pour \( \mathbf{e_1} \)** : \[ f(\mathbf{e_1}) = f\left(\left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right]\right) = \left[\begin{array}{cc} 1 + 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 - 0 + 4 \cdot 0 - 2 \cdot 0 \\ -0 & -2 \cdot 0 + 0 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 0 & 0 \end{array}\right] \] 2. **Pour \( \mathbf{e_2} \)** : \[ f(\mathbf{e_2}) = f\left(\left[\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}\right]\right) = \left[\begin{array}{cc} 0 + 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 - 1 + 4 \cdot 0 - 2 \cdot 0 \\ -0 & -2 \cdot 0 + 0 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} 0 & -1 \\ 0 & 0 \end{array}\right] \] 3. **Pour \( \mathbf{e_3} \)** : \[ f(\mathbf{e_3}) = f\left(\left[\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{array}\right]\right) = \left[\begin{array}{cc} 0 + 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 - 0 + 4 \cdot 1 - 2 \cdot 0 \\ -1 & -2 \cdot 1 + 0 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} 2 & 4 \\ -1 & -2 \end{array}\right] \] 4. **Pour \( \mathbf{e_4} \)** : \[ f(\mathbf{e_4}) = f\left(\left[\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right]\right) = \left[\begin{array}{cc} 0 + 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 - 0 + 4 \cdot 0 - 2 \cdot 1 \\ -0 & -2 \cdot 0 + 1 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} 0 & -2 \\ 0 & 1 \end{array}\right] \] Maintenant, nous exprimons chaque résultat en termes de la base \( \mathcal{B} \) : - \( f(\mathbf{e_1}) = 1 \cdot \mathbf{e_1} + 2 \cdot \mathbf{e_3} \) donc le premier vecteur colonne est \( \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \) - \( f(\mathbf{e_2}) = -1 \cdot \mathbf{e_2} \) donc le deuxième vecteur colonne est \( \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \) - \( f(\mathbf{e_3}) = 2 \cdot \mathbf{e_1} + 4 \cdot \mathbf{e_2} - 1 \cdot \mathbf{e_3} - 2 \cdot \mathbf{e_4} \) donc le troisième vecteur colonne est \( \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix} \) - \( f(\mathbf{e_4}) = -2 \cdot \mathbf{e_2} + 1 \cdot \mathbf{e_4} \) donc le quatrième vecteur colonne est \( \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \) En rassemblant ces colonnes, nous obtenons la matrice \( A \) : \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 0 \\ 2 & -1 & 4 & -2 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 & 1 \end{pmatrix} \] ### (b) Déterminer le polynôme caractéristique \( \chi_{f}(x) \) Le polynôme caractéristique est donné par \( \chi_{f}(x) = \det(A - xI \) où \( I \)