Soient xety deux nombres reels tels que \( : x \leq \frac{1}{2}, y \geq \frac{3}{2} \) et \( x-2 y=5 \) On pose \( A=\sqrt{x^{2}+(x-1)^{2}+2 x(x-1)} \) et \( B=\sqrt{4 y^{2}+(2 y-3)^{2}+4 y(2 y-3)} \) 1) Montrer que : \( A=\sqrt{(2 x-1)^{2}} \) et \( B=\sqrt{\left(4 y-3 t^{2}\right.} \) 4) Simplifier Ies nombres \( A \) et \( B \) 8) Determiner la valeur numérique du nombre \( A+3 \) X

D'accord, résolvons les différentes parties de l'exercice étape par étape. ### 1) Montrer que : \[ A = \sqrt{(2x - 1)^2} \quad \text{et} \quad B = \sqrt{(4y - 3)^2} \] **Développement de \( A \) :** \[ A = \sqrt{x^2 + (x - 1)^2 + 2x(x - 1)} \] Développons les termes sous la racine : \[ x^2 + (x - 1)^2 + 2x(x - 1) = x^2 + (x^2 - 2x + 1) + (2x^2 - 2x) = 4x^2 - 4x + 1 \] Ainsi, \[ A = \sqrt{4x^2 - 4x + 1} = \sqrt{(2x - 1)^2} \] **Développement de \( B \) :** \[ B = \sqrt{4y^2 + (2y - 3)^2 + 4y(2y - 3)} \] Développons les termes sous la racine : \[ 4y^2 + (2y - 3)^2 + 4y(2y - 3) = 4y^2 + (4y^2 - 12y + 9) + (8y^2 - 12y) = 16y^2 - 24y + 9 \] Ainsi, \[ B = \sqrt{16y^2 - 24y + 9} = \sqrt{(4y - 3)^2} \] ### 4) Simplifier les nombres \( A \) et \( B \) Nous avons : \[ A = \sqrt{(2x - 1)^2} = |2x - 1| \] \[ B = \sqrt{(4y - 3)^2} = |4y - 3| \] **Détermination des valeurs absolues :** - **Pour \( A \) :** On sait que \( x \leq \frac{1}{2} \). Calculons le signe de \( 2x - 1 \) : \[ 2x - 1 \leq 2 \times \frac{1}{2} - 1 = 1 - 1 = 0 \] Donc, \( 2x - 1 \leq 0 \), ce qui implique : \[ |2x - 1| = -(2x - 1) = 1 - 2x \] Ainsi, \[ A = 1 - 2x \] - **Pour \( B \) :** On sait que \( y \geq \frac{3}{2} \). Calculons le signe de \( 4y - 3 \) : \[ 4y - 3 \geq 4 \times \frac{3}{2} - 3 = 6 - 3 = 3 \geq 0 \] Donc, \( 4y - 3 \geq 0 \), ce qui implique : \[ |4y - 3| = 4y - 3 \] Ainsi, \[ B = 4y - 3 \] ### 8) Déterminer la valeur numérique du nombre \( A + 3x \) **Relation entre \( x \) et \( y \) :** \[ x - 2y = 5 \quad \text{(donnée)} \] De cette équation, on exprime \( x \) en fonction de \( y \) : \[ x = 5 + 2y \] **Étude de la compatibilité avec les inégalités données :** - Avec \( y \geq \frac{3}{2} \), substituons dans l'expression de \( x \) : \[ x = 5 + 2y \geq 5 + 2 \times \frac{3}{2} = 5 + 3 = 8 \] - Cependant, on a également \( x \leq \frac{1}{2} \). **Conclusion :** Il n'existe **aucune solution** réelle qui satisfait à la fois l'équation \( x - 2y = 5 \) et les inégalités \( x \leq \frac{1}{2} \) et \( y \geq \frac{3}{2} \). En effet, d'après l'équation, \( x \) doit être au moins égal à 8, ce qui contredit \( x \leq \frac{1}{2} \). Par conséquent, il est impossible de déterminer une valeur numérique pour \( A + 3x \) sous les conditions données, car aucune paire \((x, y)\) ne satisfait toutes les contraintes simultanément.