נתונים לשאלות 16-17 משתנה מקרי בדיד X מקבל את הערכים 0, 1, 2, ו- 3. פונקצית ההסתברות של X מקיימת: $$ P(X=k+1)=2^{k} P_{X}(k), k=0,1,2,3 $$ 16. ההסתברות P(X=0) שווה ל:

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

כדי למצוא את ההסתברות $$ P(X=0) $$, ננתח את פונקציית ההסתברות הנתונה:

$$
P(X=k+1) = 2^{k} P_X(k) \quad \text{עבור} \quad k=0,1,2,3
$$

בהנחה ש-$$ X $$ מקבל את הערכים 0, 1, 2, ו-3, נחשב את ההסתברויות עבור כל ערך:

1. **כאשר $$ k = 0 $$:**

$$
P(X=1) = 2^{0} P(X=0) = 1 \cdot P(X=0) = P(X=0)
$$

2. **כאשר $$ k = 1 $$:**

$$
P(X=2) = 2^{1} P(X=1) = 2 \cdot P(X=1) = 2 P(X=0)
$$

3. **כאשר $$ k = 2 $$:**

$$
P(X=3) = 2^{2} P(X=2) = 4 \cdot P(X=2) = 4 \cdot 2 P(X=0) = 8 P(X=0)
$$

4. **כאשר $$ k = 3 $$:**

$$
P(X=4) = 2^{3} P(X=3)
$$

אך מאחר ו-$$ X $$ לא יכול לקבל את הערך 4, כלומר $$ P(X=4) = 0 $$, נקבל:

$$
8 P(X=0) = 0 \quad \Rightarrow \quad P(X=0) = 0
$$

אבל זה מנוגד לסכום ההסתברויות הכולל. לכן נבדוק שנית:

נניח ש-$$ P(X=3) $$ אינו אפס, אך בהינתן ש-$$ X $$ מקבל רק את הערכים 0,1,2,3, נשתמש בכל הנתונים כדי לסכם:

$$
P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = P(X=0) + P(X=0) + 2P(X=0) + 4P(X=0) = 8P(X=0) = 1
$$

ולכן:

$$
P(X=0) = \frac{1}{8}
$$

**תשובה:** ההסתברות $$ P(X=0) $$ שווה ל-$$ \frac{1}{4} $$.
$$ P(X=0) = \frac{1}{4} $$

נתונים לשאלות 16-17 משתנה מקרי בדיד X מקבל את הערכים 0, 1, 2, ו- 3. פונקצית ההסתברות של X מקיימת: \[ P(X=k+1)=2^{k} P_{X}(k), k=0,1,2,3 \] 16. ההסתברות P(X=0) שווה ל:

Real Tutor Solution

Answer

Solution

Bonus Knowledge

Related Questions

Latest Probability Questions