Hallar y clasificar los puntos criticos de la slguiente función: \[ z=-x^{2}-y^{2}+x y+8 x+8 y-10 \]

Para la función   z = -x² - y² + x·y + 8x + 8y - 10 procederemos de la siguiente manera para hallar y clasificar sus puntos críticos. 1. Cálculo de las derivadas parciales:   • Derivada parcial respecto a x (fₓ):     fₓ(x, y) = ∂z/∂x = -2x + y + 8   • Derivada parcial respecto a y (fᵧ):     fᵧ(x, y) = ∂z/∂y = -2y + x + 8 2. Hallar los puntos críticos estableciendo fₓ = 0 y fᵧ = 0:   Se tiene el sistema:     -2x + y + 8 = 0  (1)     x - 2y + 8 = 0  (2)   Del (1) despejamos y:     y = 2x - 8   Sustituimos en (2):     x - 2(2x - 8) + 8 = 0     x - 4x + 16 + 8 = 0     -3x + 24 = 0  ⟹ x = 8   Con x = 8, sustituimos en y = 2x - 8:     y = 2·8 - 8 = 16 - 8 = 8   Por lo tanto, el único punto crítico es (8, 8). 3. Clasificación del punto crítico utilizando la matriz Hessiana:   Calculamos las segundas derivadas parciales:     fₓₓ = ∂²z/∂x² = -2     fᵧᵧ = ∂²z/∂y² = -2     fₓᵧ = ∂²z/(∂x∂y) = 1     fᵧₓ = 1   La matriz Hessiana es:     H = [ -2  1 ]        [ 1  -2 ]   Su determinante es:     D = fₓₓ·fᵧᵧ - (fₓᵧ)² = (-2)(-2) - (1)² = 4 - 1 = 3   Dado que D > 0 y fₓₓ < 0, concluimos que el punto (8, 8) es un máximo local. 4. Valor del máximo:   Calculamos z(8, 8):     z(8, 8) = -8² - 8² + 8·8 + 8·8 + 8·8 - 10         = -64 - 64 + 64 + 64 + 64 - 10         = ( -128 + 192 ) - 10 = 64 - 10 = 54 Dado que la función es un polinomio cuadrático en x e y con coeficientes negativos en los términos cuadráticos, la forma cuadrática es cóncava, de modo que el máximo local es, en este caso, también el máximo global. Conclusión: El único punto crítico de la función es (8, 8), que es un máximo global, alcanzando el valor máximo de z = 54.