ealiza las siguientes operaciones y problemas. Recuerda que si no existe procedimiento el reactivo no cortara. Además de
ue el resultado deberá estar simplificado. Valor de cada pregunta 2 puntos.
Obtener la ecuación de la recta en su forma general que pasa por el punto y es perpendicular a la recta .
Obtener la ecuación de la recta en su forma simétrica que pasa por el punto y es paralela a la recta .
Obtener la ecuación de la recta en su forma ordinaria que pasa por el punto y . Graficarla y obtener su dagulo
de inclinación.
Calcular la distancia entre las rectas paralelas y
Determina el ángulo que forma la recta que pasan por los puntos y y la recta que pasa por los puntos
y .

Ask by Sanders Davison. in Mexico

Mar 23,2025

Question

ealiza las siguientes operaciones y problemas. Recuerda que si no existe procedimiento el reactivo no cortara. Además de
ue el resultado deberá estar simplificado. Valor de cada pregunta 2 puntos.
Obtener la ecuación de la recta en su forma general que pasa por el punto y es perpendicular a la recta .
Obtener la ecuación de la recta en su forma simétrica que pasa por el punto y es paralela a la recta .
Obtener la ecuación de la recta en su forma ordinaria que pasa por el punto y . Graficarla y obtener su dagulo
de inclinación.
Calcular la distancia entre las rectas paralelas y
Determina el ángulo que forma la recta que pasan por los puntos y y la recta que pasa por los puntos
y .

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Mar 23,2025

UpStudy AI · Accepted Answer

1) Sean la recta dada  
$$
\frac{x}{2}+\frac{y}{3}=1.
$$

Multiplicamos ambos lados por 6 para eliminar fracciones:
$$
3x+2y=6.
$$

La forma pendiente‐intersección se obtiene despejando $$y$$:
$$
2y=6-3x \quad\Rightarrow\quad y=3-\frac{3}{2}x.
$$
Por lo tanto, la pendiente de esta recta es
$$
m=-\frac{3}{2}.
$$

Como se pide la recta perpendicular, su pendiente $$m'$$ es el negativo inverso de $$-\frac{3}{2}$$:
$$
m'=\frac{2}{3}.
$$

Utilizando la fórmula punto‐pendiente con el punto $$P(-2,-3)$$,
$$
y - (-3)=\frac{2}{3}(x - (-2))\quad\Longrightarrow\quad y+3=\frac{2}{3}(x+2).
$$

Multiplicamos ambos lados por 3:
$$
3(y+3)=2(x+2).
$$
Expandiendo:
$$
3y+9=2x+4.
$$
Llevamos todos los términos a un lado para obtener la forma general:
$$
2x-3y-5=0.
$$

---

2) Consideramos la recta  
$$
-2x+5y=10.
$$
La pasamos a forma pendiente‐intersección:
$$
5y=2x+10\quad\Rightarrow\quad y=\frac{2}{5}x+2.
$$
La pendiente es
$$
m=\frac{2}{5}.
$$

Dado que buscamos una recta paralela a esta, su pendiente será también $$\frac{2}{5}$$. Utilizando el punto $$P(2,3)$$ y expresando la ecuación en forma simétrica, se escribe:
$$
\frac{x-2}{5}=\frac{y-3}{2}.
$$

---

3) Se desea la recta que pasa por los puntos $$P(1,4)$$ y $$Q(-3,-2)$$.

Calculamos la pendiente:
$$
m=\frac{-2-4}{-3-1}=\frac{-6}{-4}=\frac{3}{2}.
$$

Usamos la fórmula punto‐pendiente con $$P(1,4)$$:
$$
y-4=\frac{3}{2}(x-1).
$$
Despejamos $$y$$ para obtener la forma ordinaria:
$$
y=\frac{3}{2}x-\frac{3}{2}+4=\frac{3}{2}x+\frac{5}{2}.
$$

El ángulo de inclinación $$\theta$$ de la recta se determina con:
$$
\tan \theta=\frac{3}{2}\quad\Rightarrow\quad \theta=\arctan\left(\frac{3}{2}\right).
$$

Para graficarla, basta con ubicar el punto $$P(1,4)$$ y trazar la recta con pendiente $$\frac{3}{2}$$ (por cada 2 unidades horizontales, sube 3 verticalmente).

---

4) Se requiere la distancia entre las rectas paralelas
$$
3x+9y-5=0 \quad \text{y} \quad 3x+9y+2=0.
$$

La fórmula para la distancia entre dos rectas paralelas en la forma $$Ax+By+C=0$$ es:
$$
d=\frac{|C_2-C_1|}{\sqrt{A^2+B^2}}.
$$
Identificamos $$C_1=-5$$ y $$C_2=2$$. Así:
$$
d=\frac{|2-(-5)|}{\sqrt{3^2+9^2}}=\frac{7}{\sqrt{9+81}}=\frac{7}{\sqrt{90}}=\frac{7}{3\sqrt{10}}.
$$
Si se prefiere racionalizar:
$$
d=\frac{7\sqrt{10}}{30}.
$$

---

5) Se determinan las pendientes de las rectas dadas por los puntos.

Para la recta que pasa por $$A(1,3)$$ y $$B(-4,2)$$:
$$
m_1=\frac{2-3}{-4-1}=\frac{-1}{-5}=\frac{1}{5}.
$$

Para la recta que pasa por $$C(-5,4)$$ y $$D(5,-3)$$:
$$
m_2=\frac{-3-4}{5-(-5)}=\frac{-7}{10}=-\frac{7}{10}.
$$

El ángulo $$\theta$$ entre dos rectas con pendientes $$m_1$$ y $$m_2$$ se calcula mediante:
$$
\tan\theta=\left|\frac{m_2-m_1}{1+m_1m_2}\right|.
$$
Sustituyendo:
$$
\tan\theta=\left|\frac{-\frac{7}{10}-\frac{1}{5}}{1+\frac{1}{5}\left(-\frac{7}{10}\right)}\right|.
$$

Convertimos $$\frac{1}{5}$$ a décimas:
$$
\frac{1}{5}=\frac{2}{10},\quad \text{entonces:}
$$
$$
\tan\theta=\left|\frac{-\frac{7}{10}-\frac{2}{10}}{1-\frac{7}{50}}\right|=\left|\frac{-\frac{9}{10}}{\frac{43}{50}}\right|=\frac{\frac{9}{10}}{\frac{43}{50}}=\frac{9}{10}\cdot\frac{50}{43}=\frac{45}{43}.
$$

Por lo tanto, el ángulo es
$$
\theta=\arctan\left(\frac{45}{43}\right).
$$
1. La ecuación de la recta en forma general que pasa por $$ P(-2,-3) $$ y es perpendicular a $$ \frac{x}{2}+\frac{y}{3}=1 $$ es $$ 2x - 3y - 5 = 0 $$. 2. La ecuación de la recta en forma simétrica que pasa por $$ P(2,3) $$ y es paralela a $$ -2x + 5y = 10 $$ es $$ \frac{x-2}{5} = \frac{y-3}{2} $$. 3. La ecuación de la recta en forma ordinaria que pasa por $$ P(1,4) $$ y $$ Q(-3,-2) $$ es $$ y = \frac{3}{2}x + \frac{5}{2} $$. Su ángulo de inclinación es $$ \arctan\left(\frac{3}{2}\right) $$. 4. La distancia entre las rectas paralelas $$ 3x + 9y - 5 = 0 $$ y $$ 3x + 9y + 2 = 0 $$ es $$ \frac{7\sqrt{10}}{30} $$. 5. El ángulo que forman las rectas que pasan por $$ A(1,3) $$ y $$ B(-4,2) $$, y por $$ C(-5,4) $$ y $$ D(5,-3) $$ es $$ \arctan\left(\frac{45}{43}\right) $$.

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