Sea A un algoritmo para el que se ha probado que su complejidad es $$ T_{A}(n)=\Theta\left(n^{3}\right) $$. Diga el valor de verdad de los siguientes enuncia- dos(justifique sus respuestas): - Es posible que A corra en $$ O P\left(n^{3}\right) $$ para todas las entradas - Es posible que A corra en $$ \Omega\left(n^{3}\right) $$ para todas las entradas - Es posible que A corra en $$ \Omega\left(n^{2}\right) $$ para todas las entrada - Es posible que A corra $$ \omega\left(n^{2}\right) $$ para todas las entrada

Question

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Para analizar los enunciados dados sobre el algoritmo $$ A $$ con complejidad $$ T_{A}(n) = \Theta(n^{3}) $$, recordemos que:

- $$ \Theta(n^{3}) $$ implica que $$ T_{A}(n) $$ está acotado tanto superior como inferiormente por $$ n^{3} $$ para entradas suficientemente grandes. Es decir, existe una constante $$ c_1 $$ y $$ c_2 $$ tales que:

$$
c_1 n^{3} \leq T_{A}(n) \leq c_2 n^{3} \quad \text{para } n \text{ grande}
$$

Ahora, analicemos cada enunciado:

1. **Es posible que A corra en $$ O(n^{3}) $$ para todas las entradas.**
   - **Valor de verdad:** Verdadero.
   - **Justificación:** Dado que $$ T_{A}(n) = \Theta(n^{3}) $$, esto implica que $$ T_{A}(n) $$ está acotado superiormente por $$ n^{3} $$. Por lo tanto, $$ T_{A}(n) $$ también pertenece a $$ O(n^{3}) $$.

2. **Es posible que A corra en $$ \Omega(n^{3}) $$ para todas las entradas.**
   - **Valor de verdad:** Verdadero.
   - **Justificación:** Similarmente, dado que $$ T_{A}(n) = \Theta(n^{3}) $$, esto implica que $$ T_{A}(n) $$ está acotado inferiormente por $$ n^{3} $$. Por lo tanto, $$ T_{A}(n) $$ también pertenece a $$ \Omega(n^{3}) $$.

3. **Es posible que A corra en $$ \Omega(n^{2}) $$ para todas las entradas.**
   - **Valor de verdad:** Verdadero.
   - **Justificación:** Dado que $$ T_{A}(n) = \Theta(n^{3}) $$, esto implica que $$ T_{A}(n) $$ está acotado inferiormente por $$ n^{3} $$, lo que a su vez implica que también está acotado inferiormente por $$ n^{2} $$ (ya que $$ n^{3} $$ crece más rápido que $$ n^{2} $$). Por lo tanto, $$ T_{A}(n) $$ pertenece a $$ \Omega(n^{2}) $$.

4. **Es posible que A corra $$ \omega(n^{2}) $$ para todas las entradas.**
   - **Valor de verdad:** Verdadero.
   - **Justificación:** La notación $$ \omega(n^{2}) $$ indica que $$ T_{A}(n) $$ crece más rápido que $$ n^{2} $$ para entradas suficientemente grandes. Dado que $$ T_{A}(n) = \Theta(n^{3}) $$, esto implica que $$ T_{A}(n) $$ efectivamente crece más rápido que $$ n^{2} $$. Por lo tanto, $$ T_{A}(n) $$ pertenece a $$ \omega(n^{2}) $$.

En resumen, todos los enunciados son verdaderos.
Todos los enunciados son verdaderos porque el algoritmo $$ A $$ tiene una complejidad $$ T_{A}(n) = \Theta(n^{3}) $$, lo que significa que: 1. Corre en $$ O(n^{3}) $$ para todas las entradas. 2. Corre en $$ \Omega(n^{3}) $$ para todas las entradas. 3. Corre en $$ \Omega(n^{2}) $$ para todas las entradas. 4. Corre en $$ \omega(n^{2}) $$ para todas las entradas. Esto se debe a que $$ \Theta(n^{3}) $$ implica que la complejidad es tanto superior como inferiormente acotada por $$ n^{3} $$, y por lo tanto, también es superiormente acotada por $$ n^{3} $$ y inferiormente acotada por $$ n^{2} $$, y crece más rápido que $$ n^{2} $$.

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