2. Resolver las inecuaciones $$ \begin{array}{l} ext { a) } 2(3-x) \leq 5-4 x \ ext { b) }-3(x-1)4(1-x) \ ext { c) }-\frac{1}{2} x+1 \geq-\frac{3}{2} \ ext { d) } \frac{1}{3}(1-2 x)

Question

2. Resolver las inecuaciones $$ \begin{array}{l} 	ext { a) } 2(3-x) \leq 5-4 x \ 	ext { b) }-3(x-1)>4(1-x) \ 	ext { c) }-\frac{1}{2} x+1 \geq-\frac{3}{2} \ 	ext { d) } \frac{1}{3}(1-2 x)<4 \ 	ext { e) } 3 x+55-\frac{x}{6} \ 	ext { h) } 7 \leq 2(3-x) \leq 9 \ 	ext { i) } x^{2}+2 x \geq 15 \ 	ext { j) } x^{2}-2 x-3 \leq 0\end{array} $$

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¡Hola! Tengo que resolver estas inecuaciones y me siento un poco abrumado con tantas. Vamos a ver, primero identificaré cada inecuación y luego procederé a resolverlas paso a paso. Primero, la inecuación a) es $$2(3 - x) \leq 5 - 4x$$. Voy a expandir la izquierda: $$6 - 2x \leq 5 - 4x$$. Ahora, voy a mover todos los términos con $$x$$ a un lado y los constantes al otro. Sumo $$4x$$ a ambos lados: $$6 + 2x \leq 5$$. Luego, restaré 6 de ambos lados: $$2x \leq -1$$. Finalmente, divido ambos lados por 2: $$x \leq -0.5$$. Pasando a la inecuación b) $$-3(x - 1) > 4(1 - x)$$. Expando ambos lados: $$-3x + 3 > 4 - 4x$$. Ahora, sumo $$4x$$ a ambos lados: $$-3x + 4x + 3 > 4$$, lo que da $$x + 3 > 4$$. Resto 3 de ambos lados: $$x > 1$$. La inecuación c) es $$-\frac{1}{2}x + 1 \geq -\frac{3}{2}$$. Voy a restar 1 de ambos lados: $$-\frac{1}{2}x \geq -\frac{5}{2}$$. Ahora, multiplico ambos lados por -2, pero recuerdo que al multiplicar por un número negativo, el signo de la desigualdad cambia: $$x \leq 5$$. Para la inecuación d) $$\frac{1}{3}(1 - 2x) < 4$$. Primero, expando la izquierda: $$\frac{1}{3} - \frac{2}{3}x < 4$$. Luego, restaré $$\frac{1}{3}$$ de ambos lados: $$-\frac{2}{3}x < \frac{11}{3}$$. Multiplicando ambos lados por $$-\frac{3}{2}$$ y cambiando el signo de la desigualdad: $$x > -\frac{11}{2}$$. La inecuación e) es $$3x + 5 < x + 13$$. Resto $$x$$ de ambos lados: $$2x + 5 < 13$$. Luego, restaré 5 de ambos lados: $$2x < 8$$. Finalmente, divido ambos lados por 2: $$x < 4$$. Para la inecuación f) $$2(x - 3) + 5(x - 1) \geq -4$$. Expando los términos: $$2x - 6 + 5x - 5 \geq -4$$. Combino términos semejantes: $$7x - 11 \geq -4$$. Sumo 11 a ambos lados: $$7x \geq 7$$. Finalmente, divido ambos lados por 7: $$x \geq 1$$. La inecuación g) es $$\frac{x}{3} + \frac{x}{2} > 5 - \frac{x}{6}$$. Primero, encuentro un denominador común para los términos con $$x$$, que es 6. Entonces, $$\frac{2x}{6} + \frac{3x}{6} > 5 - \frac{x}{6}$$. Combino términos: $$\frac{5x}{6} > 5 - \frac{x}{6}$$. Sumo $$\frac{x}{6}$$ a ambos lados: $$\frac{6x}{6} > 5$$, lo que simplifica a $$x > 5$$. La inecuación h) es $$7 \leq 2(3 - x) \leq 9$$. Primero, expando la desigualdad: $$7 \leq 6 - 2x \leq 9$$. Resto 6 de todos los términos: $$1 \leq -2x \leq 3$$. Multiplico todos los términos por -1, cambiando el signo de la desigualdad: $$-1 \geq 2x \geq -3$$. Finalmente, divido todos los términos por 2: $$-0.5 \geq x \geq -1.5$$. La inecuación i) es $$x^2 + 2x \geq 15$$. Primero, reorganizo la desigualdad: $$x^2 + 2x - 15 \geq 0$$. Factorizo el trinomio: $$(x + 5)(x - 3) \geq 0$$. Ahora, encuentro los puntos de corte con el eje x: $$x = -5$$ y $$x = 3$$. Pruebo intervalos: para $$x < -5$$, la desigualdad es positiva; para $$-5 < x < 3$$, negativa; y para $$x > 3$$, positiva. Por lo tanto, la solución es $$x \leq -5$$ o $$x \geq 3$$. La inecuación j) es $$x^2 - 2x - 3 \leq 0$$. Factorizo el trinomio: $$(x - 3)(x + 1) \leq 0$$. Los puntos de corte son $$x = 3$$ y $$x = -1$$. Pruebo intervalos: para $$x < -1$$, la desigualdad es positiva; para $$-1 < x < 3$$, negativa; y para $$x > 3$$, positiva. Por lo tanto, la solución es $$-1 \leq x \leq 3$$. a) $$x \leq -0.5$$ b) $$x > 1$$ c) $$x \leq 5$$ d) $$x > -\frac{11}{2}$$ e) $$x < 4$$ f) $$x \geq 1$$ g) $$x > 5$$ h) $$-1.5 \leq x \leq -0.5$$ i) $$x \leq -5$$ o $$x \geq 3$$ j) $$-1 \leq x \leq 3$$

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