29. Sea f una función biyectiva tal que \( f(x)=3 x+2 \). Se puede calcular el valor de \( m+n \) si: \[ \begin{array}{l}\text { (1) } f(m)=3 \\ \text { (2) } f^{-1}(n)=2 \\ \text { A) (1) por sí sola } \\ \text { B) (2) por sí sola } \\ \text { C) Ambas juntas, (1) y (2) } \\ \text { D) Cada una por si sola, (1) y (2) } \\ \text { E) Se requiere información adicional }\end{array} \]

Para resolver el problema, primero necesitamos entender la función \( f(x) = 3x + 2 \) y su inversa \( f^{-1}(x) \). ### Paso 1: Encontrar la inversa de la función La función \( f(x) = 3x + 2 \) es una función lineal y biyectiva. Para encontrar su inversa, seguimos estos pasos: 1. Reemplazamos \( f(x) \) por \( y \): \[ y = 3x + 2 \] 2. Despejamos \( x \): \[ y - 2 = 3x \implies x = \frac{y - 2}{3} \] 3. Intercambiamos \( x \) y \( y \) para obtener la inversa: \[ f^{-1}(x) = \frac{x - 2}{3} \] ### Paso 2: Analizar las condiciones Ahora, analicemos las condiciones dadas: 1. **Condición (1)**: \( f(m) = 3 \) - Sustituyendo en la función: \[ 3m + 2 = 3 \] - Resolviendo para \( m \): \[ 3m = 3 - 2 \implies 3m = 1 \implies m = \frac{1}{3} \] 2. **Condición (2)**: \( f^{-1}(n) = 2 \) - Sustituyendo en la inversa: \[ \frac{n - 2}{3} = 2 \] - Resolviendo para \( n \): \[ n - 2 = 6 \implies n = 8 \] ### Paso 3: Calcular \( m + n \) Ahora que tenemos los valores de \( m \) y \( n \): \[ m = \frac{1}{3}, \quad n = 8 \] Calculamos \( m + n \): \[ m + n = \frac{1}{3} + 8 = \frac{1}{3} + \frac{24}{3} = \frac{25}{3} \] ### Paso 4: Determinar la opción correcta Ahora evaluamos si podemos encontrar \( m + n \) usando cada condición: - **(1)** por sí sola nos da \( m \). - **(2)** por sí sola nos da \( n \). - Ambas juntas nos dan \( m + n \). Por lo tanto, la respuesta correcta es: **D) Cada una por sí sola, (1) y (2)**.