(5.7) Commun à tous les candidats Soit \( k \) un entier naturel supérieur ou égal à 2 . Une urne contient \( k \) boules noires et 3 boules blanches. Ces \( k+3 \) boules sont indiscernables au toucher. Une partie consiste à prélever au hasard successivement et avec remise deux boules dans cette urne. On établit la règle de jeu suivante: - un joueur perd 9 euros si les deux boules tirées sont de couleur blanche; - un joueur perd 1 euro si les deux boules tirées sont de couleur noire; - un joueur gagne 5 euros si les deux boules tirées sont de couleurs différentes; on dit dans ce cas là qu'il gagne la partie. Partie A Dans la partie A, on pose \( k=7 \). Ainsi l'urne contient 3 boules blanches et 7 boules noires indiscernables au toucher. 1. Un joueur joue une partie. On note \( p \) la probabilité que le joueur gagne la partie, c'est-à -dire la probabilité qu'il ail tiré deux boules de couleurs différentes. Démontrer que \( p=0,42 \). 2. Soit \( n \) un entier tel que \( n>2 \). Un joueur joue \( n \) parties identiques et indépendantes. On note \( X \) la variable aléatoire qui comptabilise nombre de parties gagnées par le joueur, et \( p_{n} \) la probabilité que le joueur gagne au moins une fois au cours des \( n \) parties. (a) Expliquer pourquoi la variable \( X \) suit une loi binomiale de paramètres \( n \) et \( p \). (b) Exprimer \( p_{n} \) en fonction de \( n \), puis calculer \( p_{10} \) en arrondissant au millième. (c) Déterminer le nombre minimal de parties que le joueur doit jouer afin que la probabilité de gagner au moins une fois soit supérieure à \( 99 \% \).

Nous considérons une urne contenant 7 boules noires et 3 boules blanches (donc 10 boules au total) et on effectue deux tirages successifs avec remise. ──────────────────────────── 1. Calcul de la probabilité p de gagner (c’est-à-dire d’obtenir deux boules de couleurs différentes) La probabilité de tirer une boule blanche est 3/10 et celle de tirer une boule noire est 7/10. Les deux cas favorables sont : - Tirer d’abord une boule blanche puis une boule noire. - Tirer d’abord une boule noire puis une boule blanche. Calculons ces probabilités : • P(blanche puis noire) = (3/10) × (7/10) = 21/100 • P(noire puis blanche) = (7/10) × (3/10) = 21/100 D’où, la probabilité de gagner est :   p = 21/100 + 21/100 = 42/100 = 0,42. ──────────────────────────── 2. Partie A, questions sur n parties identiques et la variable aléatoire X On considère que le joueur joue n parties indépendantes (avec n > 2). (a) Montrer que X suit une loi binomiale de paramètres n et p. Chaque partie est une épreuve de Bernoulli (succès ou échec) avec :   succès (gagner la partie) de probabilité p = 0,42,   échec de probabilité 1 – p = 0,58. Puisque les parties sont indépendantes, le nombre X de parties gagnées, comptant le nombre de succès parmi n essais, suit une loi binomiale de paramètres n et p :   X ~ B(n, 0,42). (b) Exprimer pₙ et calculer p₁₀. La probabilité de gagner au moins une fois lors de n parties est donnée par :   pₙ = P(X ≥ 1) = 1 – P(X = 0). Or, P(X = 0) = (1 – p)ⁿ = (0,58)ⁿ. Donc,   pₙ = 1 – (0,58)ⁿ. Pour n = 10 :   p₁₀ = 1 – (0,58)¹⁰. Calculons (0,58)¹⁰ :   ln(0,58) ≈ -0,5447 donc 10 × ln(0,58) ≈ -5,447   ainsi (0,58)¹⁰ ≈ exp(-5,447) ≈ 0,00431. D'où,   p₁₀ ≈ 1 – 0,00431 ≈ 0,99569, arrondi au millième, p₁₀ ≈ 0,996. (c) Déterminer le nombre minimal de parties que le joueur doit jouer pour que la probabilité de gagner au moins une fois dépasse 99%. Nous souhaitons que   pₙ > 0,99, c’est-à-dire :   1 – (0,58)ⁿ > 0,99 ⟹ (0,58)ⁿ < 0,01. Prenons le logarithme népérien des deux côtés de l’inégalité (la fonction ln est strictement croissante pour des valeurs positives) :   ln((0,58)ⁿ) < ln(0,01)   n ln(0,58) < ln(0,01). Nous avons :   ln(0,58) ≈ -0,5447 et ln(0,01) ≈ -4,6052. Comme ln(0,58) est négatif, en divisant par ln(0,58) l’inégalité change de sens :   n > ln(0,01) / ln(0,58) ≈ (-4,6052)/(-0,5447) ≈ 8,45. n doit être un entier, donc le plus petit entier supérieur à 8,45 est n = 9. ──────────────────────────── Récapitulatif des réponses : 1. p = 0,42. 2.  (a) La variable X suit une loi binomiale B(n, 0,42).  (b) pₙ = 1 – (0,58)ⁿ et pour n = 10, p₁₀ ≈ 0,996.  (c) Le nombre minimal de parties est 9.