Desarrolle y simplifique la siguiente fracción algebraica: \( \left(p+3-\frac{5}{p-1}\right) \cdot\left(p-2+\frac{5}{p+4}\right) \)

1. Escribimos cada uno de los paréntesis como una única fracción algebraica. - Para el primer factor: \[ p+3-\frac{5}{p-1}=\frac{(p+3)(p-1)-5}{p-1} \] Se expande el numerador: \[ (p+3)(p-1)=p^2+3p-p-3=p^2+2p-3 \] Por lo tanto: \[ p+3-\frac{5}{p-1}=\frac{p^2+2p-3-5}{p-1}=\frac{p^2+2p-8}{p-1} \] - Para el segundo factor: \[ p-2+\frac{5}{p+4}=\frac{(p-2)(p+4)+5}{p+4} \] Se expande el numerador: \[ (p-2)(p+4)=p^2+4p-2p-8=p^2+2p-8 \] Entonces: \[ p-2+\frac{5}{p+4}=\frac{p^2+2p-8+5}{p+4}=\frac{p^2+2p-3}{p+4} \] 2. Se multiplica ambas fracciones: \[ \left(\frac{p^2+2p-8}{p-1}\right)\cdot\left(\frac{p^2+2p-3}{p+4}\right)=\frac{(p^2+2p-8)(p^2+2p-3)}{(p-1)(p+4)} \] 3. Se factorizan los polinomios: - Para \(p^2+2p-8\), buscamos dos números cuyo producto sea \(-8\) y la suma \(2\). Estos son \(2\) y \(-4\): \[ p^2+2p-8=(p-2)(p+4) \] - Para \(p^2+2p-3\), buscamos dos números cuyo producto sea \(-3\) y cuya suma sea \(2\). Estos son \( -1\) y \(3\), de modo que: \[ p^2+2p-3=(p-1)(p+3) \] 4. Se reemplazan los factores en la fracción: \[ \frac{(p-2)(p+4)(p-1)(p+3)}{(p-1)(p+4)} \] 5. Se cancelan los factores comunes \((p-1)\) y \((p+4)\): \[ \frac{\cancel{(p-2)}\,\cancel{(p+4)}\,\cancel{(p-1)}\,(p+3)}{\cancel{(p-1)}\,\cancel{(p+4)}}=(p-2)(p+3) \] 6. Se multiplica el factor resultante para obtener el polinomio final: \[ (p-2)(p+3)=p^2+3p-2p-6=p^2+p-6 \] La expresión simplificada es: \[ p^2+p-6 \]