5 Gegeven is de lijn $$ l:\left(\begin{array}{l}x \ y \ z\end{array} ight)=\lambda\left(\begin{array}{l}2 \ 1 \ 0\end{array} ight) $$ en het vlak $$ V:\left(\begin{array}{l}x \ y \ z\end{array} ight)=e\left(\begin{array}{l}2 \ 0 \ 1\end{array} ight)+\left(\begin{array}{c}1 \ -1 \ 2\end{array} ight) $$ $$ l^{\prime} $$ is de projectie van $$ l $$ op $$ V $$. a. Geef een vectorvoorstelling van het vlak $$ W $$ door $$ l $$ en $$ V $$. b. Geef een vectorvoorstelling van $$ l^{\prime} $$.

Question

5 Gegeven is de lijn $$ l:\left(\begin{array}{l}x \ y \ z\end{array}ight)=\lambda\left(\begin{array}{l}2 \ 1 \ 0\end{array}ight) $$ en het vlak $$ V:\left(\begin{array}{l}x \ y \ z\end{array}ight)=e\left(\begin{array}{l}2 \ 0 \ 1\end{array}ight)+\left(\begin{array}{c}1 \ -1 \ 2\end{array}ight) $$ $$ l^{\prime} $$ is de projectie van $$ l $$ op $$ V $$. a. Geef een vectorvoorstelling van het vlak $$ W $$ door $$ l $$ en $$ V $$. b. Geef een vectorvoorstelling van $$ l^{\prime} $$.

UpStudy AI · Accepted Answer

Laten we de gegeven informatie stap voor stap analyseren en de gevraagde vectorvoorstellingen vinden.

### Gegeven:
- De lijn $$ l $$ is gegeven door:
  $$
  \mathbf{r}_l = \lambda \begin{pmatrix} 2 \ 1 \ 0 \end{pmatrix}
  $$
  waar $$ \lambda $$ een parameter is.

- Het vlak $$ V $$ is gegeven door:
  $$
  \mathbf{r}_V = e \begin{pmatrix} 2 \ 0 \ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \ -1 \ 2 \end{pmatrix}
  $$
  waar $$ e $$ een parameter is.

### a. Vectorvoorstelling van het vlak $$ W $$ door $$ l $$ en $$ V $$

Om een vlak $$ W $$ te definiëren dat door de lijn $$ l $$ en het vlak $$ V $$ gaat, hebben we een punt op de lijn $$ l $$ en een normaalvector van het vlak $$ V $$ nodig.

1. **Punt op de lijn $$ l $$**: We kunnen een punt op de lijn $$ l $$ vinden door een waarde voor $$ \lambda $$ te kiezen. Laten we $$ \lambda = 1 $$ kiezen:
   $$
   \mathbf{P} = \begin{pmatrix} 2 \ 1 \ 0 \end{pmatrix}
   $$

2. **Normaalvector van het vlak $$ V $$**: We moeten de normaalvector van het vlak $$ V $$ vinden. De normaalvector kan worden verkregen door de richtingsvectoren van het vlak te vinden. De richtingsvectoren zijn:
   - Van $$ \begin{pmatrix} 2 \ 0 \ 1 \end{pmatrix} $$ naar $$ \begin{pmatrix} 1 \ -1 \ 2 \end{pmatrix} $$:
     $$
     \mathbf{d_1} = \begin{pmatrix} 1 \ -1 \ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \ 0 \ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \ -1 \ 1 \end{pmatrix}
     $$

- De normaalvector $$ \mathbf{n} $$ van het vlak kan worden gevonden door de kruisproduct van de richtingsvectoren van het vlak te nemen. We hebben echter alleen één richtingsvector, dus we moeten een andere vector vinden die niet collineair is met $$ \mathbf{d_1} $$. We kunnen de richtingsvector van de lijn $$ l $$ gebruiken:
   $$
   \mathbf{d_2} = \begin{pmatrix} 2 \ 1 \ 0 \end{pmatrix}
   $$

Nu nemen we het kruisproduct:
   $$
   \mathbf{n} = \mathbf{d_1} \times \mathbf{d_2} = \begin{pmatrix} -1 \ -1 \ 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 2 \ 1 \ 0 \end{pmatrix}
   $$

Laten we het kruisproduct berekenen:

$$
\mathbf{n} = \begin{pmatrix} -1 \ -1 \ 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 2 \ 1 \ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-1)(0) - (1)(1) \ (1)(2) - (-1)(0) \ (-1)(1) - (-1)(2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \ 2 \ 1 \end{pmatrix}
$$

3. **Vectorvoorstelling van het vlak $$ W $$**:
   Het vlak $$ W $$ kan worden weergegeven als:
   $$
   \mathbf{r}_W = \mathbf{P} + s \mathbf{d_1} + t \mathbf{d_2}
   $$
   waar $$ s $$ en $$ t $$ parameters zijn. Dus:
   $$
   \mathbf{r}_W = \begin{pmatrix} 2 \ 1 \ 0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} -1 \ -1 \ 1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 2 \ 1 \ 0 \end{pmatrix}
   $$

### b. Vectorvoorstelling van $$ l^{\prime} $$

De projectie $$ l^{\prime} $$ van de lijn $$ l $$ op het vlak $$ V $$ kan worden gevonden door de lijn $$ l $$ te projecteren op het vlak. Dit kan worden gedaan door de lijn te parametriseren en de projectieformule te gebruiken.

1. **Parametrisatie van de lijn $$ l $$**:
   $$
   \mathbf{r}_l = \begin{pmatrix} 2\lambda \ \lambda \ 0 \end{pmatrix}
   $$

2. **Projectie op het vlak**:
   De projectie van een punt $$ \mathbf{r}_l $$ op het vlak kan worden gegeven door:
   $$
   \mathbf{r}_{l'} = \mathbf{r}_l - \frac{(\mathbf{r}_l - \mathbf{r}_V) \cdot \mathbf{n}}{\|\mathbf{n}\|^2} \mathbf{n}
   $$

Laten we de projectie berekenen. We hebben al $$ \mathbf{n} $$ en $$ \mathbf{r}_V $$ gevonden. We moeten nu $$ \mathbf{r}_l $$ en $$ \mathbf{r}_V $$ in de projectieformule invullen.

Laten we de projectie berekenen voor een algemeen punt op de lijn $$ l $$:
$$
\mathbf{r}_l = \begin{pmatrix} 2\lambda \ \lambda \ 0 \end{pmatrix}
$$
$$
\mathbf{r}_V = e \begin{pmatrix} 2 \ 0 \ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \ -1 \ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2e + 1 \ -1 \ e + 2 \end{pmatrix}
$$

Nu berekenen we $$ \mathbf{r}_{l'} $$:
$$
\mathbf{r}_{l'} = \begin{pmatrix} 2\lambda \ \lambda \ 0 \end{pmatrix} - \frac{\left(\begin{pmatrix} 2\lambda \ \lambda \ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2e + 1 \ -1 \ e + 2 \end{pmatrix
a. Het vlak $$ W $$ door $$ l $$ en $$ V $$ wordt gegeven door: \[ \mathbf{r}_W = \begin{pmatrix} 2 \ 1 \ 0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} -1 \ -1 \ 1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 2 \ 1 \ 0 \end{pmatrix} $$ b. De projectie $$ l^{\prime} $$ van $$ l $$ op $$ V $$ wordt gegeven door: $$ \mathbf{r}_{l'} = \begin{pmatrix} 2\lambda \ \lambda \ 0 \end{pmatrix} - \frac{\left(\begin{pmatrix} 2\lambda \ \lambda \ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2e + 1 \ -1 \ e + 2 \end{pmatrix}\right) \cdot \begin{pmatrix} -1 \ 2 \ 1 \end{pmatrix}}{\| \begin{pmatrix} -1 \ 2 \ 1 \end{pmatrix} \|^2} \begin{pmatrix} -1 \ 2 \ 1 \end{pmatrix} $$

Real Tutor Solution

Answer

Solution

Beyond the Answer

Related Questions

Latest Geometry Questions