\[ \begin{array}{l} \frac{x^{6}}{x^{4}}=x^{2} \quad \frac{20 x}{x^{4}}=\frac{7-1 x^{5}}{x^{4}}=x^{1} \quad \frac{-1 x^{4}}{x^{4}}=x \quad \frac{-1 x^{-3}}{x^{4}}=-x \\ x^{6}+6 x^{3}-2 x^{5}-7 x^{2}-4 x+6 \text { entre } x^{4}-3 x^{2}+2 \\ \begin{array}{rccc} x^{6} & -2 x^{5} & 0 \\ -x^{6} & +3 x^{5} & -2 x^{4} \\ -x^{5} & +6 x^{3} & -7 x^{2} \quad-4 x+6 \frac{x^{4}-3 x^{2}}{x^{2} 1 x} \\ 20 x^{3} \end{array} \end{array} \]

Claro, vamos a realizar la división del polinomio \( x^{6} + 6x^{3} - 2x^{5} - 7x^{2} - 4x + 6 \) entre el polinomio \( x^{4} - 3x^{2} + 2 \) utilizando el método de la división polinómica. ### Paso 1: Ordenar los términos Primero, ordenamos los términos de ambos polinomios en orden descendente de los exponentes: - **Dividendo:** \( x^{6} - 2x^{5} + 6x^{3} - 7x^{2} - 4x + 6 \) - **Divisor:** \( x^{4} - 3x^{2} + 2 \) ### Paso 2: División del primer término Dividimos el término de mayor grado del dividendo por el término de mayor grado del divisor: \[ \frac{x^{6}}{x^{4}} = x^{2} \] Este es el primer término del cociente. ### Paso 3: Multiplicación y resta Multiplicamos el divisor por \( x^{2} \) y restamos el resultado del dividendo: \[ x^{2} \cdot (x^{4} - 3x^{2} + 2) = x^{6} - 3x^{4} + 2x^{2} \] \[ \begin{align*} & \underline{x^{6} - 2x^{5} + 6x^{3} - 7x^{2} - 4x + 6} \\ - & (x^{6} - 3x^{4} + 2x^{2}) \\ = & \quad 0x^{6} - 2x^{5} + 3x^{4} + 6x^{3} - 9x^{2} - 4x + 6 \end{align*} \] ### Paso 4: Repetir el proceso Ahora, repetimos el proceso con el nuevo polinomio resultante. 1. **División:** \[ \frac{-2x^{5}}{x^{4}} = -2x \] 2. **Multiplicación:** \[ -2x \cdot (x^{4} - 3x^{2} + 2) = -2x^{5} + 6x^{3} - 4x \] 3. **Resta:** \[ \begin{align*} & \underline{-2x^{5} + 3x^{4} + 6x^{3} - 9x^{2} - 4x + 6} \\ - & (-2x^{5} + 6x^{3} - 4x) \\ = & \quad 0x^{5} + 3x^{4} + 0x^{3} - 9x^{2} + 0x + 6 \end{align*} \] ### Paso 5: Última iteración Repetimos una vez más con el nuevo polinomio. 1. **División:** \[ \frac{3x^{4}}{x^{4}} = 3 \] 2. **Multiplicación:** \[ 3 \cdot (x^{4} - 3x^{2} + 2) = 3x^{4} - 9x^{2} + 6 \] 3. **Resta:** \[ \begin{align*} & \underline{3x^{4} - 9x^{2} + 6} \\ - & (3x^{4} - 9x^{2} + 6) \\ = & \quad 0x^{4} + 0x^{2} + 0 \end{align*} \] ### Resultado Final El cociente de la división es: \[ x^{2} - 2x + 3 \] Y el residuo es \( 0 \), lo que indica que el dividendo es divisible exactamente por el divisor. ### Conclusión Por lo tanto: \[ \frac{x^{6} - 2x^{5} + 6x^{3} - 7x^{2} - 4x + 6}{x^{4} - 3x^{2} + 2} = x^{2} - 2x + 3 \]