2. Encuentre el valor máximo relativo de la función \( f(x)=a x^{3}-2 a x^{2}-4 a x+8 \) (donde \( a \neq 0 \) ). (d)

Para encontrar el valor máximo relativo de la función \( f(x) = a x^{3} - 2a x^{2} - 4a x + 8 \) (donde \( a \neq 0 \)), seguiremos estos pasos: ### 1. **Encontrar los puntos críticos:** Calculamos la derivada primera de \( f(x) \): \[ f'(x) = 3a x^{2} - 4a x - 4a \] Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos: \[ 3a x^{2} - 4a x - 4a = 0 \quad \Rightarrow \quad 3x^{2} - 4x - 4 = 0 \] Resolviendo esta ecuación cuadrática: \[ x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 48}}{6} = \frac{4 \pm 8}{6} \] Obtenemos dos soluciones: \[ x_1 = 2 \quad \text{y} \quad x_2 = -\frac{2}{3} \] ### 2. **Determinar la concavidad con la derivada segunda:** Calculamos la derivada segunda: \[ f''(x) = 6a x - 4a \] Evaluamos en los puntos críticos: - En \( x = 2 \): \[ f''(2) = 12a - 4a = 8a \] - En \( x = -\frac{2}{3} \): \[ f''\left(-\frac{2}{3}\right) = -4a - 4a = -8a \] ### 3. **Determinar el tipo de extremo relativo:** - **Si \( a > 0 \):** - En \( x = 2 \): \( f''(2) = 8a > 0 \) → **mínimo relativo**. - En \( x = -\frac{2}{3} \): \( f''\left(-\frac{2}{3}\right) = -8a < 0 \) → **máximo relativo**. - **Si \( a < 0 \):** - En \( x = 2 \): \( f''(2) = 8a < 0 \) → **máximo relativo**. - En \( x = -\frac{2}{3} \): \( f''\left(-\frac{2}{3}\right) = -8a > 0 \) → **mínimo relativo**. ### 4. **Calcular el valor de la función en los puntos de máximo relativo:** - **Para \( a > 0 \):** \[ f\left(-\frac{2}{3}\right) = a \left(-\frac{2}{3}\right)^{3} - 2a \left(-\frac{2}{3}\right)^{2} - 4a \left(-\frac{2}{3}\right) + 8 = \frac{40a}{27} + 8 \] - **Para \( a < 0 \):** \[ f(2) = a(2)^3 - 2a(2)^2 - 4a(2) + 8 = -8a + 8 \] ### **Conclusión:** El valor máximo relativo de la función \( f(x) \) depende del signo de \( a \): - **Si \( a > 0 \):** El valor máximo relativo es \( \frac{40a}{27} + 8 \) y ocurre en \( x = -\frac{2}{3} \). - **Si \( a < 0 \):** El valor máximo relativo es \( -8a + 8 \) y ocurre en \( x = 2 \). ### **Respuesta Final:** El valor relativo máximo de \( f(x) \) es \( \frac{40\,a}{27} + 8 \) cuando \( a \) es positivo y \( -8\,a + 8 \) cuando \( a \) es negativo.