Bepaal die kleinste waarde van \( k \) waarvoor: \[ \sum_{i=1}^{k} 5^{i+1}>90000^{20} \] indien \( k \) ' \( n \) heelgetal is.

We moeten de kleinst mogelijke \( k \) vinden zodat \[ \sum_{i=1}^{k} 5^{i+1}>90000^{20} \] stelt. We lossen de ongelijkheid stap voor stap op. **Stap 1. Herleid de som** De som is \[ \sum_{i=1}^{k} 5^{i+1} = 5^2 + 5^3 + \cdots + 5^{k+1}. \] Dit is een meetkundige rij met eerste term \( a = 5^2 \) en quotiënt \( r = 5 \). De som van een meetkundige reeks van \( n \) termen is \[ S_n = a\,\frac{r^n-1}{r-1}. \] Hier is \( n = k \) en dus \[ S_k = 5^2\,\frac{5^k-1}{5-1} = \frac{25\,(5^k-1)}{4}. \] De ongelijkheid wordt dan \[ \frac{25\,(5^k-1)}{4} > 90000^{20}. \] **Stap 2. Breng de ongelijkheid in een eenvoudiger vorm** Vermenigvuldig beide zijden met \( 4 \): \[ 25\,(5^k-1) > 4\,90000^{20}. \] Deel vervolgens door \( 25 \): \[ 5^k - 1 > \frac{4\,90000^{20}}{25}. \] Omdat \( 5^k \) extreem groot is en \( 1 \) verwaarloosbaar ten opzichte van \( 5^k \) in deze context, zal de breuk bepalen wat \( k \) minimaal moet zijn. Voor de volgende stappen isoleren we \( 5^k \): \[ 5^k > \frac{4\,90000^{20}}{25} + 1. \] Voor praktische doeleinden concentreren we ons op \[ 5^k > \frac{4\,90000^{20}}{25}. \] **Stap 3. Neem de logaritme (basis 10) van beide zijden** Door beide zijden te logaritmeren krijgen we \[ \log(5^k) > \log\!\left(\frac{4\,90000^{20}}{25}\right). \] Gebruik de eigenschappen van logaritmen: \( \log(5^k)=k\log(5) \) en \[ \log\!\left(\frac{4\,90000^{20}}{25}\right) = \log(4) - \log(25) + 20\log(90000). \] Dus wordt de ongelijkheid \[ k\log(5) > \log(4) - \log(25) + 20\log(90000). \] **Stap 4. Bepaal de logaritmische waarden** We gebruiken de benaderde waarden: - \( \log(5) \approx 0.699 \) - \( \log(4)=\log(2^2)=2\log(2) \approx 2\cdot0.301 = 0.602 \) - \( \log(25)=\log(5^2)=2\log(5) \approx 2\cdot0.699 = 1.398 \) - \( \log(90000) \): Merk op dat \( 90000 = 9 \times 10^4 \). Dus \[ \log(90000)=\log(9)+\log(10^4)=\log(9)+4. \] Aangezien \( \log(9)=\log(3^2)=2\log(3) \) en \( \log(3) \approx 0.477 \) krijgen we \( \log(9) \approx 0.954 \). Dan \[ \log(90000) \approx 0.954 + 4 = 4.954. \] Nu berekenen we \[ \log(4) - \log(25) \approx 0.602 - 1.398 = -0.796. \] En \[ 20\log(90000) \approx 20 \times 4.954 = 99.08. \] Daarmee krijgen we \[ k\log(5) > -0.796 + 99.08 \quad \Longrightarrow \quad k\log(5) > 98.284. \] **Stap 5. Los op voor \( k \)** De ongelijkheid wordt nu \[ k > \frac{98.284}{\log(5)}. \] Met \( \log(5) \approx 0.699 \) is dit \[ k > \frac{98.284}{0.699} \approx 140.6. \] Aangezien \( k \) een geheel getal moet zijn, is de kleinste waarde die voldoet \( k = 141 \). **Antwoord:** \( k = 141 \).