7. La función de ingreso de una empresa está dada por \( I(x)=48 x-3 x^{2} y \) su función de costos esta dada por \( C(x)=6 x+120 \); responsa los siguientes interrogantes: a. Cuántos productos se debe producir para que la empresa este en equilibrio? b. Cual es el menor valor y el mayor valor de los ingresos recibidos? c. Cual es el menor valor y el mayor valor de los costos de producción?

Para resolver el problema, primero identificamos las funciones de ingreso y costo dadas: - Función de ingreso: \( I(x) = 48x - 3x^2 \) - Función de costos: \( C(x) = 6x + 120 \) ### a. Cuántos productos se debe producir para que la empresa esté en equilibrio? Para que la empresa esté en equilibrio, los ingresos deben ser iguales a los costos, es decir: \[ I(x) = C(x) \] Sustituyendo las funciones: \[ 48x - 3x^2 = 6x + 120 \] Reorganizamos la ecuación: \[ -3x^2 + 48x - 6x - 120 = 0 \] Simplificamos: \[ -3x^2 + 42x - 120 = 0 \] Multiplicamos toda la ecuación por -1 para simplificar: \[ 3x^2 - 42x + 120 = 0 \] Ahora, utilizamos la fórmula cuadrática \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \) donde \( a = 3 \), \( b = -42 \), y \( c = 120 \). Calculamos el discriminante: \[ b^2 - 4ac = (-42)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 120 \] Ahora, calculamos el valor del discriminante y luego resolvemos para \( x \). Calculate the value by following steps: - step0: Calculate: \(\left(-42\right)^{2}-4\times 3\times 120\) - step1: Multiply the terms: \(\left(-42\right)^{2}-1440\) - step2: Simplify: \(42^{2}-1440\) - step3: Evaluate the power: \(1764-1440\) - step4: Subtract the numbers: \(324\) Calculate or simplify the expression \( (-(-42) + \sqrt(324)) / (2 * 3) \). Calculate the value by following steps: - step0: Calculate: \(\frac{\left(-\left(-42\right)+\sqrt{324}\right)}{\left(2\times 3\right)}\) - step1: Remove the parentheses: \(\frac{-\left(-42\right)+\sqrt{324}}{2\times 3}\) - step2: Remove the parentheses: \(\frac{42+\sqrt{324}}{2\times 3}\) - step3: Simplify the root: \(\frac{42+18}{2\times 3}\) - step4: Multiply the numbers: \(\frac{42+18}{6}\) - step5: Add the numbers: \(\frac{60}{6}\) - step6: Reduce the numbers: \(\frac{10}{1}\) - step7: Calculate: \(10\) Calculate or simplify the expression \( (-(-42) - \sqrt(324)) / (2 * 3) \). Calculate the value by following steps: - step0: Calculate: \(\frac{\left(-\left(-42\right)-\sqrt{324}\right)}{\left(2\times 3\right)}\) - step1: Remove the parentheses: \(\frac{-\left(-42\right)-\sqrt{324}}{2\times 3}\) - step2: Remove the parentheses: \(\frac{42-\sqrt{324}}{2\times 3}\) - step3: Simplify the root: \(\frac{42-18}{2\times 3}\) - step4: Multiply the numbers: \(\frac{42-18}{6}\) - step5: Subtract the numbers: \(\frac{24}{6}\) - step6: Reduce the numbers: \(\frac{4}{1}\) - step7: Calculate: \(4\) El discriminante es \( 324 \), lo que significa que hay dos soluciones para \( x \): 1. \( x_1 = \frac{42 + 18}{6} = 10 \) 2. \( x_2 = \frac{42 - 18}{6} = 4 \) Por lo tanto, la empresa debe producir **4** o **10** productos para estar en equilibrio. ### b. Cuál es el menor valor y el mayor valor de los ingresos recibidos? Para encontrar los ingresos, evaluamos la función de ingreso \( I(x) = 48x - 3x^2 \) en los puntos críticos y en los extremos del intervalo que consideramos (en este caso, \( x = 0 \) hasta \( x = 10 \)). Primero, evaluamos \( I(0) \), \( I(4) \), \( I(10) \): 1. \( I(0) = 48(0) - 3(0)^2 = 0 \) 2. \( I(4) = 48(4) - 3(4)^2 \) 3. \( I(10) = 48(10) - 3(10)^2 \) Calculemos \( I(4) \) y \( I(10) \). Calculate the value by following steps: - step0: Calculate: \(48\times 10-3\times 10^{2}\) - step1: Multiply the numbers: \(480-3\times 10^{2}\) - step2: Rewrite the expression: \(480-300\) - step3: Subtract the terms: \(180\) Calculate or simplify the expression \( 48 * 4 - 3 * (4)^2 \). Calculate the value by following steps: - step0: Calculate: \(48\times 4-3\times 4^{2}\) - step1: Multiply the numbers: \(192-3\times 4^{2}\) - step2: Multiply the terms: \(192-48\) - step3: Subtract the numbers: \(144\) Los ingresos calculados son: 1. \( I(0) = 0 \) 2. \( I(4) = 144 \) 3. \( I(10) = 180 \) Por lo tanto, el menor valor de los ingresos es **0** y el mayor valor es **180**. ### c. Cuál es el menor valor y el mayor valor de los costos de producción? Para encontrar los costos, evaluamos la función de costos \( C(x) = 6x + 120 \) en los mismos puntos críticos y extremos. Evaluamos \( C(0) \), \( C(4) \), \( C(10) \): 1. \( C(0) = 6(0) + 120 = 120 \) 2. \( C(4) = 6(4) + 120 \) 3. \( C(10) = 6(10) + 120 \) Calculemos \( C(4) \) y \( C(10) \). Calculate the value by following steps: - step0: Calculate: \(6\times 4+120\) - step1: Multiply the numbers: \(24+120\) - step2: Add the numbers: \(144\) Calculate or simplify the expression \( 6 * 10 + 120 \). Calculate the value by following steps: - step0: Calculate: \(6\times 10+120\) - step1: Multiply the numbers: \(60+120\) - step2: Add the numbers: \(180\) Los costos calculados son: 1. \( C(0) = 120 \) 2. \( C(4) = 144 \) 3. \( C(10) = 180 \) Por lo tanto, el menor valor de los costos de producción es **120** y el mayor valor es **180**. ### Resumen de respuestas: a. La empresa debe producir **4** o **10** productos para estar en equilibrio. b. El menor valor de los ingresos es **0** y el mayor valor es **180**. c. El menor valor de los costos de producción es **120** y el mayor valor es **180**.