In Exercises $$ 9-11 $$, find the inverse of the function. Then graph the function its inverse. $$ \begin{array}{ll}9 . f(x)=9 x^{2}, x \geq 0 & ext { 10. } f(x)=16 x^{2}, x \leq 0\end{array} $$

Question

In Exercises $$ 9-11 $$, find the inverse of the function. Then graph the function its inverse. $$ \begin{array}{ll}9 . f(x)=9 x^{2}, x \geq 0 & 	ext { 10. } f(x)=16 x^{2}, x \leq 0\end{array} $$

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### 题目 9

设 $$ f(x)=9x^2 $$ 且定义域为 $$ x \geq 0 $$。

1. **求反函数：**  
   令  
   $$
   y=9x^2
   $$  
   交换 $$ x $$ 与 $$ y $$ 得  
   $$
   x=9y^2
   $$  
   解关于 $$ y $$ 的方程：  
   $$
   y^2=\frac{x}{9} \quad \Rightarrow \quad y=\sqrt{\frac{x}{9}}=\frac{\sqrt{x}}{3}
   $$  
   注意原函数定义域 $$ x\ge0 $$ 保持反函数的取值（即 $$ y\ge0 $$），故反函数为  
   $$
   f^{-1}(x)=\frac{\sqrt{x}}{3}, \quad x\ge0.
   $$

2. **函数与反函数的图形：**  
   - 原函数 $$ f(x)=9x^2 $$ 为向上开口的抛物线，且只考虑 $$ x \ge 0 $$ 的部分。  
   - 反函数 $$ f^{-1}(x)=\frac{\sqrt{x}}{3} $$ 为开口向右的半抛物线（实际是平方根函数在适当缩放后），定义域为 $$ x\ge0 $$。

两图像互为关于直线 $$ y=x $$ 的对称关系。

---

### 题目 10

设 $$ f(x)=16x^2 $$ 且定义域为 $$ x \leq 0 $$（即只取抛物线的左半边）。

1. **求反函数：**  
   令  
   $$
   y=16x^2
   $$  
   交换 $$ x $$ 与 $$ y $$ 得  
   $$
   x=16y^2
   $$  
   解关于 $$ y $$ 的方程：  
   $$
   y^2=\frac{x}{16} \quad \Rightarrow \quad y=\sqrt{\frac{x}{16}}=\frac{\sqrt{x}}{4}
   $$  
   因为原函数的定义域 $$ x \le 0 $$ 表明对应的 $$ y $$ 值必须满足 $$ y \le 0 $$（反函数的取值对应于原函数的自变量），所以应取负值：  
   $$
   f^{-1}(x)=-\frac{\sqrt{x}}{4}, \quad x\ge0.
   $$

2. **函数与反函数的图形：**  
   - 原函数 $$ f(x)=16x^2 $$ 为向上开口的抛物线，但仅取 $$ x\le0 $$ 部分（向左半边）。  
   - 反函数 $$ f^{-1}(x)=-\frac{\sqrt{x}}{4} $$ 为经过缩放和向下翻转的平方根函数，其定义域为 $$ x\ge0 $$。

同样，两图像互为关于直线 $$ y=x $$ 的对称图形。

---

总结：

- 对题目 9：  
  $$
  f^{-1}(x)=\frac{\sqrt{x}}{3}, \quad \text{定义域 } x\ge0
  $$

- 对题目 10：  
  $$
  f^{-1}(x)=-\frac{\sqrt{x}}{4}, \quad \text{定义域 } x\ge0
  $$

在绘图时，原函数图像与反函数图像互为关于直线 $$ y=x $$ 的镜像。
### 题目 9 函数 $$ f(x)=9x^2 $$ 的反函数为 $$ f^{-1}(x)=\frac{\sqrt{x}}{3} $$，定义域为 $$ x\ge0 $$。两函数图像关于直线 $$ y=x $$ 对称。 ### 题目 10 函数 $$ f(x)=16x^2 $$ 的反函数为 $$ f^{-1}(x)=-\frac{\sqrt{x}}{4} $$，定义域为 $$ x\ge0 $$。两函数图像关于直线 $$ y=x $$ 对称。 总结： - 题目 9 的反函数为 $$ f^{-1}(x)=\frac{\sqrt{x}}{3} $$。 - 题目 10 的反函数为 $$ f^{-1}(x)=-\frac{\sqrt{x}}{4} $$。

In Exercises \( 9-11 \), find the inverse of the function. Then graph the function its inverse. \( \begin{array}{ll}9 . f(x)=9 x^{2}, x \geq 0 & \text { 10. } f(x)=16 x^{2}, x \leq 0\end{array} \)

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