La operación cambio-suma transforma la terna $$ \{1,2,5\} $$ en la terna $$ \{7,6,3\} $$ en la que cada elemento se cambia por la suma de los otros dos: $$ 7=2+5,6=1+5 $$ y $$ 3=1+2 $$. A partir de $$ \{5,6,3\} $$ se va repitiendo esta operación hasta que aparezca el número 300 . Determine cuántas veces se repitió esta operación.

Question

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Sea la terna inicial $$ \{a, b, c\} $$. La operación “cambio-suma” transforma la terna en  
$$
\{b+c,\; a+c,\; a+b\}.
$$
Observemos que la suma de los elementos de la nueva terna es  
$$
(b+c) + (a+c) + (a+b)= 2(a+b+c).
$$
Es decir, la suma total se duplica en cada operación.

La terna inicial es $$ \{5,6,3\} $$ con suma  
$$
S_0=5+6+3=14.
$$

Aplicamos la operación y vamos calculando cada terna sucesiva:

1. **Operación 1**  
   A partir de $$ \{5,6,3\} $$  
   $$
   a_1=6+3=9,\quad b_1=5+3=8,\quad c_1=5+6=11.
   $$
   Terna: $$ \{9,8,11\} $$.

2. **Operación 2**  
   A partir de $$ \{9,8,11\} $$  
   $$
   a_2=8+11=19,\quad b_2=9+11=20,\quad c_2=9+8=17.
   $$
   Terna: $$ \{19,20,17\} $$.

3. **Operación 3**  
   A partir de $$ \{19,20,17\} $$  
   $$
   a_3=20+17=37,\quad b_3=19+17=36,\quad c_3=19+20=39.
   $$
   Terna: $$ \{37,36,39\} $$.

4. **Operación 4**  
   A partir de $$ \{37,36,39\} $$  
   $$
   a_4=36+39=75,\quad b_4=37+39=76,\quad c_4=37+36=73.
   $$
   Terna: $$ \{75,76,73\} $$.

5. **Operación 5**  
   A partir de $$ \{75,76,73\} $$  
   $$
   a_5=76+73=149,\quad b_5=75+73=148,\quad c_5=75+76=151.
   $$
   Terna: $$ \{149,148,151\} $$.

6. **Operación 6**  
   A partir de $$ \{149,148,151\} $$  
   $$
   a_6=148+151=299,\quad b_6=149+151=300,\quad c_6=149+148=297.
   $$
   Terna: $$ \{299,300,297\} $$.

En la sexta operación aparece el número $$ 300 $$ (en $$ b_6 $$).

Por lo tanto, la operación se repitió $$\boxed{6}$$ veces.
La operación se repitió 6 veces para obtener el número 300.

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