4) ¿Cómo puedes interpretar geométricamente el diferencial $$ d y $$ ? 5) Explica el uso práctico de los diferenciales en problemas de física o economía. 6) Dada la función $$ f(x)=2 x^{3}-3 x^{2}+4 x+1 $$, calcular: $$ \Delta y, d y, E . A $$, cuando $$ x= $$ $$ 3, \Delta x=3.5 $$ 7) Dada la función $$ f(x)=\sqrt{x^{2}+4} $$, c calcular: $$ \Delta y, d y, E . A $$, cuando $$ x=0, \Delta x=1 $$

Question

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### 4) Interpretación geométrica del diferencial $$dy$$

El diferencial $$dy$$ puede interpretarse como la variación en $$y$$ que corresponde a un cambio infinitesimal en $$x$$, siguiendo la dirección de la recta tangente a la gráfica de la función en un punto. Es decir, si en un punto $$(x, y)$$ de la curva tenemos un pequeño incremento $$dx$$ en $$x$$, el incremento aproximado en $$y$$ a lo largo de la recta tangente es
$$
dy = f'(x) \, dx.
$$
Geométricamente, $$dy$$ representa la "subida" (o "bajada") de la recta tangente cuando te mueves una distancia $$dx$$ en el eje $$x$$.

---

### 5) Uso práctico de los diferenciales en física o economía

Los diferenciales se utilizan para aproximar cambios pequeños en funciones cuando la variación en la variable independiente es muy pequeña. Algunos ejemplos son:

- **En física:**  
  Se usan para estimar errores en mediciones o para linealizar ecuaciones físicas complejas. Por ejemplo, en el análisis de sistemas, $$dy$$ permite aproximar cómo varía una magnitud física (como posición, energía, etc.) ante pequeños cambios en otras variables, facilitando el estudio de inestabilidades o de propagación de errores.

- **En economía:**  
  Sirven para estimar el impacto marginal de cambios en variables económicas. Por ejemplo, si $$f(x)$$ representa el costo total en función de la cantidad producida $$x$$, entonces $$dy = f'(x) \, dx$$ permite aproximar el aumento en costo al incrementar la producción en una cantidad pequeña $$dx$$, lo que resulta útil en el análisis de costos marginales y decisiones de optimización.

---

### 6) Cálculo de $$\Delta y$$, $$dy$$ y error de aproximación (E.A.) para  
$$ f(x)=2x^3 - 3x^2 + 4x + 1 $$ cuando  
$$ x=3 $$ y $$ \Delta x=3.5 $$

1. **Cálculo de $$\Delta y$$:**

Primero se calcula el valor de $$ f $$ en $$ x=3 $$ y en $$ x+\Delta x = 3+3.5 = 6.5 $$.

- $$ f(3) $$:
     $$
     f(3) = 2\cdot3^3 - 3\cdot3^2 + 4\cdot3 + 1 = 2\cdot27 - 3\cdot9 + 12 + 1 = 54 - 27 + 12 + 1 = 40.
     $$

- $$ f(6.5) $$:

Calculemos:
     $$
     6.5^2 = 42.25,\quad 6.5^3 = 6.5\cdot42.25 = 274.625.
     $$
     Entonces,
     $$
     f(6.5) = 2\cdot274.625 - 3\cdot42.25 + 4\cdot6.5 + 1 = 549.25 - 126.75 + 26 + 1.
     $$
     Sumamos:
     $$
     549.25 - 126.75 = 422.5,\quad 422.5 + 27 = 449.5.
     $$

Por lo tanto,
     $$
     \Delta y = f(6.5) - f(3) = 449.5 - 40 = 409.5.
     $$

2. **Cálculo de $$dy$$:**

Se necesita la derivada $$ f'(x) $$:
   $$
   f'(x)=\frac{d}{dx}\left(2x^3 - 3x^2 + 4x + 1\right)=6x^2 - 6x + 4.
   $$

Evaluando en $$ x=3 $$:
   $$
   f'(3)=6\cdot3^2 - 6\cdot3 + 4 = 6\cdot9 - 18 + 4 = 54 - 18 + 4 = 40.
   $$

Por lo tanto,
   $$
   dy = f'(3)\,\Delta x = 40 \cdot 3.5 = 140.
   $$

3. **Cálculo del error de aproximación (E.A.):**

El error de aproximación se define como la diferencia entre la variación real $$\Delta y$$ y la aproximación $$dy$$:
   $$
   \text{E.A.} = \left|\Delta y - dy\right| = \left|409.5 - 140\right| = 269.5.
   $$

---

### 7) Cálculo de $$\Delta y$$, $$dy$$ y error de aproximación (E.A.) para  
$$ f(x)=\sqrt{x^2+4} $$ cuando  
$$ x=0 $$ y $$ \Delta x=1 $$

1. **Cálculo de $$\Delta y$$:**

Se evalúa $$ f(x) $$ en $$ x=0 $$ y $$ x+\Delta x = 1 $$.

- $$ f(0) $$:
     $$
     f(0)=\sqrt{0^2+4}=\sqrt{4}=2.
     $$

- $$ f(1) $$:
     $$
     f(1)=\sqrt{1^2+4}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}.
     $$

Entonces,
     $$
     \Delta y = f(1)-f(0)=\sqrt{5}-2.
     $$

2. **Cálculo de $$dy$$:**

Se halla la derivada $$ f'(x) $$.

La función es
   $$
   f(x)=\sqrt{x^2+4}=(x^2+4)^{\frac{1}{2}}.
   $$
   Aplicando la regla de la cadena:
   $$
   f'(x)=\frac{1}{2}(x^2+4)^{-\frac{1}{2}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2+4}}.
   $$
   Evaluando en $$ x=0 $$:
   $$
   f'(0)=\frac{0}{\sqrt{0^2+4}} = 0.
   $$
   Así,
   $$
   dy = f'(0)\,\Delta x = 0\cdot1 = 0.
   $$

3. **Cálculo del error de aproximación (E.A.):**

Se determina la diferencia entre $$\Delta y$$ y $$dy$$:
   $$
   \text{E.A.} = \left|\Delta y - dy\right| = \left|\sqrt{5}-2 - 0\right| = \left|\sqrt{5}-2\right|.
   $$
   Numéricamente, ya que $$\sqrt{5}\approx2.23607$$,
   $$
   \text{E.A.} \approx 2.23607 - 2 = 0.23607.
   $$

---

### Resumen Final

- **Para $$ f(x)=2x^3-3x^2+4x+1 $$ en $$ x=3 $$ y $$ \Delta x=3.5 $$:**
  - $$\Delta y=409.5$$
  - $$dy=140$$
  - $$\text{E.A.}=269.5$$

- **Para $$ f(x)=\sqrt{x^2+4} $$ en $$ x=0 $$ y $$ \Delta x=1 $$:**
  - $$\Delta y=\sqrt{5}-2$$
  - $$dy=0$$
  - $$\text{E.A.}=\left|\sqrt{5}-2\right|$$ (aproximadamente $$0.23607$$)
### 4) Interpretación geométrica del diferencial $$dy$$ El diferencial $$dy$$ representa la variación en $$y$$ correspondiente a un pequeño cambio en $$x$$, siguiendo la recta tangente a la gráfica de la función en un punto. --- ### 5) Uso práctico de los diferenciales en física o economía Los diferenciales se utilizan para aproximar cambios pequeños en funciones, facilitando el análisis de cómo varían magnitudes físicas o económicas ante pequeños cambios en otras variables. --- ### 6) Cálculo de $$\Delta y$$, $$dy$$ y error de aproximación (E.A.) para $$ f(x)=2x^3 - 3x^2 + 4x + 1 $$ cuando $$ x=3 $$ y $$ \Delta x=3.5 $$ - $$\Delta y = 409.5$$ - $$dy = 140$$ - $$\text{E.A.} = 269.5$$ --- ### 7) Cálculo de $$\Delta y$$, $$dy$$ y error de aproximación (E.A.) para $$ f(x)=\sqrt{x^2+4} $$ cuando $$ x=0 $$ y $$ \Delta x=1 $$ - $$\Delta y = \sqrt{5} - 2$$ - $$dy = 0$$ - $$\text{E.A.} = \sqrt{5} - 2$$ (aproximadamente $$0.23607$$)

¿Cómo puedes interpretar geométricamente el diferencial ?

Explica el uso práctico de los diferenciales en problemas de física o economía.

Dada la función , calcular: , cuando

Dada la función , c calcular: , cuando

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4) Interpretación geométrica del diferencial

5) Uso práctico de los diferenciales en física o economía

6) Cálculo de , y error de aproximación (E.A.) para

7) Cálculo de , y error de aproximación (E.A.) para

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