О Дана функция $$ y=\left\{\begin{array}{l}x^{2}-4 x, x \geq-1, \ x+6, x

Question

О Дана функция $$ y=\left\{\begin{array}{l}x^{2}-4 x, x \geq-1, \ x+6, x<-1 .\end{array}ight. $$ Определи, как должна быть расположена прямая, параллельная оси абсцисс, чтобы иметь с этим графиком ровно две общие точки. (Укажи значения в порядке возрастания.) Ответ: $$ y=b, b=\square $$ или $$ b=\square $$. (Приложи фотографию своего решения для проверки учителем.) Файл не выбран Загрузить файл

UpStudy AI · Accepted Answer

1. Рассмотрим функцию $$ y=\begin{cases} x^2-4x, & x\ge -1,\[1mm] x+6, & x<-1. \end{cases} $$ Найдем пересечения графика с прямой $$ y=b $$. 2. Для участка $$ x\ge -1 $$ решим уравнение $$ x^2-4x=b \quad\Leftrightarrow\quad x^2-4x-b=0. $$ Дискриминант этого уравнения равен $$ \Delta=16+4b. $$ Условие действительных корней: $$ \Delta\ge0 \Rightarrow b\ge -4 $$. При $$ b>-4 $$ уравнение имеет два корня, но, поскольку функция на промежутке $$ x\ge -1 $$ не монотонна (сначала убывает, затем возрастает), для разных значений $$ b $$ может получаться два корня, один из которых может оказаться меньше $$-1$$. Найдем границы: - При $$ x=-1 $$ получаем $$ (-1)^2-4(-1)=1+4=5 $$. - Минимальное значение функции достигается в вершине $$ x=2 $$: $$ f(2)=2^2-4\cdot2=4-8=-4. $$ Таким образом, на $$ x\ge -1 $$ функция принимает все значения от $$-4$$ до $$+\infty$$ с особенностью: - При $$ b\in (-4,5) $$ у уравнения $$ x^2-4x=b $$ будут два решения, оба удовлетворяющие $$ x\ge -1 $$ (одно из которых находится на отрезке $$[-1,2]$$, а другое — при $$ x>2 $$). - При $$ b=-4 $$ ровно одно решение (вершина, $$ x=2 $$). - При $$ b=5 $$ решения: $$ x=-1 $$ и $$ x=5 $$. 3. Для участка $$ x<-1 $$ решим уравнение $$ x+6=b \quad\Rightarrow\quad x=b-6. $$ Такое решение принадлежит области определения линейного участка, если $$ b-6<-1 \quad\Leftrightarrow\quad b<5. $$ 4. Теперь подберём такие значения $$ b $$, чтобы суммарно график и прямая $$ y=b $$ имели ровно две общие точки. - Если $$ b\in (-4,5) $$, то: - Участок $$ x\ge -1 $$ даёт два решения. - Участок $$ x<-1 $$ даёт решение $$ x=b-6 $$. Всего три точки пересечения. - Если $$ b>5 $$, то: - Участок $$ x<-1 $$ не даёт решения (так как $$ b-6\ge -1 $$). - Уравнение $$ x^2-4x=b $$ имеет два корня, но один из них оказывается меньше $$-1$$ и не удовлетворяет условию $$ x\ge -1 $$. Получаем единственное решение. Итого только одна точка пересечения. Остаются пограничные случаи: - При $$ b=-4 $$: - Для $$ x\ge -1 $$ уравнение становится $$ x^2-4x=-4 $$ или $$ x^2-4x+4=0 $$, то есть $$ (x-2)^2=0 $$. Единственный корень $$ x=2 $$ (при этом $$ x=2\ge -1 $$). - Для $$ x<-1 $$ $$ x+6=-4 $$ даёт $$ x=-10 $$, что удовлетворяет $$ x<-1 $$. Всего две различные точки: $$ (2,-4) $$ и $$ (-10,-4) $$. - При $$ b=5 $$: - Для $$ x\ge -1 $$ уравнение $$ x^2-4x=5 $$ превращается в $$ x^2-4x-5=0 $$. Дискриминант равен $$ 16+20=36 $$ и корни: $$ x=\frac{4\pm6}{2}\quad\Rightarrow\quad x=-1 \quad \text{и} \quad x=5. $$ Оба удовлетворяют $$ x\ge -1 $$. - Для $$ x<-1 $$ решение $$ x=b-6=5-6=-1 $$ не включается, так как $$ x<-1 $$ строго. Всего две точки: $$ (-1,5) $$ и $$ (5,5) $$. 5. Ответ: прямая должна иметь вид $$ y=b,\quad b=-4 \quad \text{или} \quad b=5. $$ Для функции $$ y=\begin{cases}x^2-4x, & x\geq-1,\ x+6, & x<-1\end{cases} $$, прямая $$ y=b $$ имеет ровно две общие точки с графиком при $$ b=-4 $$ и $$ b=5 $$.

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

Extra Insights

Related Questions

Latest Algebra Questions