$$ x d x + ( y - 2 x ) d y = 0 $$

Question

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Para resolver la ecuación diferencial $$ x \, dx + (y - 2x) \, dy = 0 $$, primero reorganizaremos la ecuación en una forma más manejable.

1. **Reorganizar la ecuación:**
   $$
   x \, dx + (y - 2x) \, dy = 0
   $$
   Podemos reescribir esto como:
   $$
   (y - 2x) \, dy = -x \, dx
   $$

2. **Separar las variables:**
   Dividimos ambos lados por $$ (y - 2x) $$ y $$ x $$:
   $$
   \frac{dy}{y - 2x} = -\frac{dx}{x}
   $$

3. **Integrar ambos lados:**
   Ahora integramos ambos lados:
   $$
   \int \frac{dy}{y - 2x} = \int -\frac{dx}{x}
   $$

La integral del lado izquierdo es:
   $$
   \ln |y - 2x|
   $$
   Y la integral del lado derecho es:
   $$
   -\ln |x|
   $$

Así que tenemos:
   $$
   \ln |y - 2x| = -\ln |x| + C
   $$
   donde $$ C $$ es la constante de integración.

4. **Simplificar la expresión:**
   Podemos reescribir la ecuación exponencialmente:
   $$
   |y - 2x| = \frac{C}{|x|}
   $$

5. **Deshacerse de los valores absolutos:**
   Esto nos da dos casos:
   $$
   y - 2x = \frac{C}{x} \quad \text{o} \quad y - 2x = -\frac{C}{x}
   $$

Por lo tanto, la solución general de la ecuación diferencial es:
   $$
   y = 2x + \frac{C}{x} \quad \text{o} \quad y = 2x - \frac{C}{x}
   $$

Esto concluye la solución de la ecuación diferencial dada.
La solución de la ecuación diferencial $$ x \, dx + (y - 2x) \, dy = 0 $$ es: $$ y = 2x + \frac{C}{x} \quad \text{o} \quad y = 2x - \frac{C}{x} $$ donde $$ C $$ es una constante.

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