, Dados los polinomios \( \mathrm{A}(\mathrm{x})=-3 \cdot x^{2}-18 \cdot x-27 \), \( \mathrm{B}(\mathrm{x})=3 \cdot x^{2}-9 \cdot x+6, \mathrm{C}(\mathrm{x})=x^{2}+4 \cdot x+3, \mathrm{D}(\mathrm{x})= \) \( 3 \cdot x^{2}-9 \cdot x+6 \). Calcula \( \frac{A(x)}{B(x)}-\frac{C(x)}{D(x)} \) y simplifica el resultado:

Consideremos los polinomios: \[ \mathrm{A}(x)=-3x^{2}-18x-27,\quad \mathrm{B}(x)=3x^{2}-9x+6, \] \[ \mathrm{C}(x)=x^{2}+4x+3,\quad \mathrm{D}(x)=3x^{2}-9x+6. \] Se nos pide calcular y simplificar \[ \frac{\mathrm{A}(x)}{\mathrm{B}(x)}-\frac{\mathrm{C}(x)}{\mathrm{D}(x)}. \] **Paso 1.** Note que \(\mathrm{B}(x)\) y \(\mathrm{D}(x)\) son iguales, es decir: \[ \mathrm{B}(x)=\mathrm{D}(x)=3x^{2}-9x+6. \] Por lo tanto, podemos escribir la expresión como: \[ \frac{-3x^{2}-18x-27}{3x^{2}-9x+6} - \frac{x^{2}+4x+3}{3x^{2}-9x+6}. \] **Paso 2.** Al tener el mismo denominador, podemos combinar las fracciones: \[ \frac{-3x^{2}-18x-27 - (x^{2}+4x+3)}{3x^{2}-9x+6}. \] **Paso 3.** Simplificamos el numerador: \[ -3x^{2}-18x-27 - x^{2}-4x-3 = -4x^{2} -22x -30. \] La expresión queda: \[ \frac{-4x^{2}-22x-30}{3x^{2}-9x+6}. \] **Paso 4.** Factorizamos el numerador y el denominador. En el numerador, se puede extraer \(-2\): \[ -4x^{2}-22x-30 = -2(2x^{2}+11x+15). \] Ahora, factorizamos el trinomio \(2x^{2}+11x+15\). Buscamos dos números que multiplicados den \(2\cdot15=30\) y sumados den \(11\); estos números son \(5\) y \(6\): \[ 2x^{2}+5x+6x+15 = (2x^{2}+5x) + (6x+15) = x(2x+5) +3(2x+5) = (2x+5)(x+3). \] Entonces: \[ -4x^{2}-22x-30 = -2(2x+5)(x+3). \] En el denominador, factoricemos primero extrayendo el factor común \(3\): \[ 3x^{2}-9x+6 = 3(x^{2}-3x+2). \] El trinomio \(x^{2}-3x+2\) se factoriza como: \[ x^{2}-3x+2 = (x-1)(x-2). \] Por lo tanto: \[ 3x^{2}-9x+6 = 3(x-1)(x-2). \] **Paso 5.** Sustituyendo en la fracción tenemos: \[ \frac{-2(2x+5)(x+3)}{3(x-1)(x-2)}. \] Esta es la expresión simplificada. La respuesta final es: \[ -\frac{2(2x+5)(x+3)}{3(x-1)(x-2)}. \]