Utilizas ángulos, triángulos y r 12. ¿Cuánto vale el ángulo de rotación que se obtiene? a) ¿Desde el oeste hasta el noroeste en el sentido del reloj? b) ¿Desde el oeste hasta el sur en el sentido contrario del reloj? c) ¿Desde el suroeste hasta el noroeste en cualquier sentido? 13. ¿Qué ángulo forman las manecillas de un reloj análogo, tomando cor

12. a) Representamos al oeste como \(270^\circ\) y al noroeste como \(315^\circ\) (pues está a la mitad entre el oeste, \(270^\circ\), y el norte, \(360^\circ\) o \(0^\circ\)). Al rotar en el sentido del reloj (aumentando el ángulo) desde \(270^\circ\) se llega a \(315^\circ\). La diferencia es \[ 315^\circ-270^\circ=45^\circ. \] b) El oeste es \(270^\circ\) y el sur es \(180^\circ\). Al rotar en sentido contrario al reloj (sentido antihorario) la rotación es la diferencia de grados al retroceder: \[ 270^\circ-180^\circ=90^\circ. \] c) El suroeste equivale a \(225^\circ\) (punto medio entre el sur, \(180^\circ\), y el oeste, \(270^\circ\)) y el noroeste a \(315^\circ\) (punto medio entre el oeste, \(270^\circ\), y el norte, \(360^\circ\)). Si se rota en el sentido que dé la menor diferencia, se tiene \[ 315^\circ-225^\circ=90^\circ. \] Por lo tanto, la rotación es de \(90^\circ\) (la magnitud del ángulo será la misma sin importar el sentido, si se escoge la diferencia mínima). 13. El ángulo formado entre las manecillas de un reloj depende de la hora que marque. Sea \(h\) la hora y \(m\) los minutos. La posición angular de la manecilla de las horas se calcula como \[ 30h+\frac{m}{2}, \] y la de la manecilla de los minutos es \[ 6m. \] De donde el ángulo entre ambas es \[ \theta=\left|30h-\frac{11m}{2}\right|. \] Para obtener el ángulo menor (menor de \(180^\circ\)) se comprueba si \(\theta>180^\circ\); de ser así, se utiliza \[ \theta_{\text{menor}}=360^\circ-\theta. \] Por ejemplo, a las 3:00 (donde \(h=3\) y \(m=0\)): \[ \theta=\left|30\times3-\frac{11\times0}{2}\right|=90^\circ. \]