7 Si sabemos que \( \cos \frac{\alpha}{2}=-\frac{1}{3} \) y que \( 180^{\circ}<\alpha<270^{\circ} \) halla \( \cos 2 \alpha \) sin hallar el ángulo \( \alpha \).

Para resolver el problema, empezamos usando la fórmula de la identidad del coseno doble, que es \( \cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1 \). Primero necesitamos encontrar \( \cos \alpha \) a partir de \( \cos \frac{\alpha}{2} \). Sabemos que \( \cos \frac{\alpha}{2} = -\frac{1}{3} \). Usamos la relación entre los cosenos: \[ \cos \alpha = 2 \cos^2 \frac{\alpha}{2} - 1 \] Sustituyendo \( \cos \frac{\alpha}{2} \): \[ \cos \alpha = 2 \left(-\frac{1}{3}\right)^2 - 1 = 2 \left(\frac{1}{9}\right) - 1 = \frac{2}{9} - 1 = \frac{2}{9} - \frac{9}{9} = -\frac{7}{9} \] Ahora que tenemos \( \cos \alpha \), podemos calcular \( \cos 2\alpha \): \[ \cos 2\alpha = 2 \cos^2 \alpha - 1 \] Sustituyendo \( \cos \alpha = -\frac{7}{9} \): \[ \cos 2\alpha = 2 \left(-\frac{7}{9}\right)^2 - 1 = 2 \left(\frac{49}{81}\right) - 1 = \frac{98}{81} - 1 = \frac{98}{81} - \frac{81}{81} = \frac{17}{81} \] Por lo tanto, el resultado es: \[ \cos 2\alpha = \frac{17}{81} \]