3335 Un quadrato $$ A B C D $$ ha centro nel punto $$ P\left(\frac{5}{2}, 0\right) $$ e un vertice in $$ A\left(2, \frac{7}{2}\right) $$. Determina i restanti vertici.

Question

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Per determinare i restanti vertici del quadrato $$ ABCD $$ con centro nel punto $$ P\left(\frac{5}{2}, 0\right) $$ e un vertice in $$ A\left(2, \frac{7}{2}\right) $$, seguiamo questi passaggi:

1. **Calcolare il lato del quadrato**: 
   Il centro del quadrato è il punto medio dei vertici. Dato che $$ A $$ è un vertice, possiamo calcolare la distanza tra $$ P $$ e $$ A $$ per trovare il raggio del quadrato.

La distanza $$ d $$ tra i punti $$ P\left(\frac{5}{2}, 0\right) $$ e $$ A\left(2, \frac{7}{2}\right) $$ è data dalla formula:
   $$
   d = \sqrt{\left(x_2 - x_1\right)^2 + \left(y_2 - y_1\right)^2}
   $$
   dove $$ (x_1, y_1) = P $$ e $$ (x_2, y_2) = A $$.

2. **Calcolare la distanza**:
   Sostituiamo i valori:
   $$
   d = \sqrt{\left(2 - \frac{5}{2}\right)^2 + \left(\frac{7}{2} - 0\right)^2}
   $$

3. **Eseguire i calcoli**:
   Calcoliamo $$ 2 - \frac{5}{2} = \frac{4}{2} - \frac{5}{2} = -\frac{1}{2} $$ e $$ \frac{7}{2} - 0 = \frac{7}{2} $$.

Quindi:
   $$
   d = \sqrt{\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{7}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{49}{4}} = \sqrt{\frac{50}{4}} = \sqrt{\frac{25}{2}} = \frac{5}{\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{2}
   $$

4. **Determinare i restanti vertici**:
   Poiché il quadrato ha il centro $$ P $$ e un vertice $$ A $$, possiamo trovare gli altri vertici $$ B, C, D $$ ruotando il punto $$ A $$ attorno al centro $$ P $$ di $$ 90^\circ $$ in entrambe le direzioni.

- **Calcolare il vettore $$ PA $$**:
   $$
   PA = A - P = \left(2 - \frac{5}{2}, \frac{7}{2} - 0\right) = \left(-\frac{1}{2}, \frac{7}{2}\right)
   $$

- **Ruotare $$ PA $$ di $$ 90^\circ $$**:
   La rotazione di un vettore $$ (x, y) $$ di $$ 90^\circ $$ in senso orario è data da $$ (y, -x) $$ e in senso antiorario da $$ (-y, x) $$.

- **Vertice $$ B $$** (rotazione in senso orario):
   $$
   B = P + (y, -x) = P + \left(\frac{7}{2}, \frac{1}{2}\right) = \left(\frac{5}{2} + \frac{7}{2}, 0 - \frac{1}{2}\right) = \left(6, -\frac{1}{2}\right)
   $$

- **Vertice $$ C $$** (rotazione in senso antiorario):
   $$
   C = P + (-y, x) = P + \left(-\frac{7}{2}, -\frac{1}{2}\right) = \left(\frac{5}{2} - \frac{7}{2}, 0 + \frac{1}{2}\right) = \left(-1, \frac{1}{2}\right)
   $$

- **Vertice $$ D $$** (ruotando $$ A $$ di $$ 180^\circ $$):
   $$
   D = P + (-PA) = P + \left(\frac{1}{2}, -\frac{7}{2}\right) = \left(\frac{5}{2} + \frac{1}{2}, 0 - \frac{7}{2}\right) = \left(3, -\frac{7}{2}\right)
   $$

5. **Risultato finale**:
   I restanti vertici del quadrato $$ ABCD $$ sono:
   - $$ B\left(6, -\frac{1}{2}\right) $$
   - $$ C\left(-1, \frac{1}{2}\right) $$
   - $$ D\left(3, -\frac{7}{2}\right) $$

Quindi, i vertici del quadrato sono:
- $$ A\left(2, \frac{7}{2}\right) $$
- $$ B\left(6, -\frac{1}{2}\right) $$
- $$ C\left(-1, \frac{1}{2}\right) $$
- $$ D\left(3, -\frac{7}{2}\right) $$
I i restanti vertici del quadrato $$ ABCD $$ sono: - $$ B\left(6, -\frac{1}{2}\right) $$ - $$ C\left(-1, \frac{1}{2}\right) $$ - $$ D\left(3, -\frac{7}{2}\right) $$

3335 Un quadrato ha centro nel punto e
un vertice in . Determina i restanti vertici.

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