1.7.5. Ejercicios. Volumen de sólidos de revolución 1. Calculen el volumen del sólido que genera la región del plano limitada por la gráfica de \( f(x)=4-x^{2} \) y el eje \( x \) en el intervalo [0,2]al rotar: i) alrededor del eje \( x \quad \) ii) alrededor del eje \( y \)

**Rotación alrededor del eje \( x \):** La región está limitada por la gráfica de \( f(x) = 4 - x^2 \) y el eje \( x \) en el intervalo \([0,2]\). Al rotar esta región alrededor del eje \( x \), se forma un sólido cuyas secciones transversales perpendiculares al eje \( x \) son discos circulares de radio \( f(x) \). El volumen se calcula usando el método de los discos: \[ V = \pi \int_{0}^{2} \left[ f(x) \right]^2 dx = \pi \int_{0}^{2} \left(4 - x^2\right)^2 dx. \] Primero, expandimos el cuadrado: \[ \left(4 - x^2\right)^2 = 16 - 8x^2 + x^4. \] Entonces, el volumen es: \[ V = \pi \int_{0}^{2} \left(16 - 8x^2 + x^4 \right) dx. \] Calculamos cada integral por separado: 1. \(\displaystyle \int_{0}^{2} 16\ dx = 16x \Big|_{0}^{2} = 16(2) - 16(0) = 32.\) 2. \(\displaystyle \int_{0}^{2} 8x^2\ dx = 8 \cdot \frac{x^3}{3} \Big|_{0}^{2} = \frac{8}{3}\left(2^3\right) = \frac{8 \cdot 8}{3} = \frac{64}{3}.\) 3. \(\displaystyle \int_{0}^{2} x^4\ dx = \frac{x^5}{5} \Big|_{0}^{2} = \frac{2^5}{5} - 0 = \frac{32}{5}.\) Sustituyendo, tenemos: \[ V = \pi \left[ 32 - \frac{64}{3} + \frac{32}{5} \right]. \] Para combinar las fracciones, usamos el mínimo común denominador \(15\): \[ 32 = \frac{480}{15}, \quad \frac{64}{3} = \frac{320}{15}, \quad \frac{32}{5} = \frac{96}{15}. \] Por lo tanto, \[ 32 - \frac{64}{3} + \frac{32}{5} = \frac{480}{15} - \frac{320}{15} + \frac{96}{15} = \frac{480 - 320 + 96}{15} = \frac{256}{15}. \] El volumen es: \[ V = \frac{256\pi}{15}. \] --- **Rotación alrededor del eje \( y \):** Para rotar la misma región alrededor del eje \( y \), usamos el método de las arandelas o *shell method* (método de los cilindros circulares) considerando que es más sencillo con variables verticales. Con este método, cada "cáscara" tiene: - Altura: \( f(x) = 4 - x^2 \). - Radio: \( x \). El volumen diferencial es: \[ dV = 2\pi\, x \cdot \left(4 - x^2\right) dx. \] Entonces, el volumen total es: \[ V = 2\pi \int_{0}^{2} x \left(4 - x^2\right) dx. \] Multiplicamos: \[ x\left(4 - x^2\right) = 4x - x^3. \] Por lo tanto, \[ V = 2\pi \int_{0}^{2} \left(4x - x^3\right) dx. \] Integrando: 1. \(\displaystyle \int 4x\ dx = 2x^2.\) 2. \(\displaystyle \int x^3\ dx = \frac{x^4}{4}.\) Evaluamos entre \(0\) y \(2\): \[ \left[2x^2 - \frac{x^4}{4}\right]_{0}^{2} = \left(2(2)^2 - \frac{(2)^4}{4}\right) - 0 = \left(2 \cdot 4 - \frac{16}{4}\right) = (8 - 4) = 4. \] Finalmente, el volumen es: \[ V = 2\pi \cdot 4 = 8\pi. \] --- **Respuestas:** i) Volumen al rotar alrededor del eje \( x \): \(\displaystyle \frac{256\pi}{15}\). ii) Volumen al rotar alrededor del eje \( y \): \(\displaystyle 8\pi\).