Considerando la ecuación de demanda $$ p=-67 / 100 q+126 $$ y la ecuación de oferta $$ p=13 / 25 q^{\wedge} 2+36 $$, calcule el punto de equilibrio del mercado; posteriormente calcule el excedente de los consumidores y el excedente de los fabricantes.

Question

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**1. Punto de equilibrio**

El punto de equilibrio se obtiene al igualar la función de demanda y la de oferta:

$$
-\frac{67}{100}q + 126 = \frac{13}{25}q^2 + 36.
$$

Para despejar $$ q $$, llevamos todos los términos a un lado y multiplicamos por 100 (mínimo común denominador) para simplificar los coeficientes:

Multiplicamos ambos lados por 100:

$$
-67q + 12600 = 100\left(\frac{13}{25}q^2 + 36\right).
$$

Observamos que

$$
100 \cdot \frac{13}{25} = 4 \cdot 13 = 52,
$$

entonces la ecuación queda:

$$
-67q + 12600 = 52q^2 + 3600.
$$

Pasamos todos los términos al mismo lado:

$$
52q^2 + 3600 + 67q - 12600 = 0,
$$
$$
52q^2 + 67q - 9000 = 0.
$$

Utilizamos la fórmula general para cuadráticas:

$$
q = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a},
$$

donde $$ a = 52 $$, $$ b = 67 $$ y $$ c = -9000 $$. Calculamos el discriminante:

$$
\Delta = b^2 - 4ac = 67^2 - 4(52)(-9000) = 4489 + 1872000 = 1876489.
$$

Entonces,

$$
q = \frac{-67 \pm \sqrt{1876489}}{2 \cdot 52} = \frac{-67 \pm \sqrt{1876489}}{104}.
$$

Como la cantidad debe ser no negativa, tomamos la solución positiva:

$$
q_e = \frac{-67 + \sqrt{1876489}}{104}.
$$

Aproximadamente, $$\sqrt{1876489} \approx 1369.9$$, por lo que

$$
q_e \approx \frac{-67 + 1369.9}{104} \approx \frac{1302.9}{104} \approx 12.53.
$$

Para encontrar el precio de equilibrio, sustituyamos $$ q_e $$ en alguna de las ecuaciones (usaremos la demanda):

$$
p = -\frac{67}{100}q_e + 126 \approx -\frac{67}{100}(12.53) + 126.
$$

Calculando:

$$
\frac{67}{100}(12.53) \approx 8.39,
$$
$$
p_e \approx 126 - 8.39 \approx 117.61.
$$

Por lo tanto, el punto de equilibrio es:

$$
(q_e, p_e) \approx (12.53,\ 117.61).
$$

---

**2. Excedente del consumidor**

El excedente del consumidor es el área que se encuentra entre la curva de demanda y el precio de equilibrio, desde $$ q=0 $$ hasta $$ q=q_e $$. Se define como:

$$
EC = \int_0^{q_e}\left[\,p_{\text{d}}(q) - p_e\,\right]dq,
$$

donde la función de demanda es

$$
p_{\text{d}}(q) = -\frac{67}{100}q + 126.
$$

Procedemos:

1. Calcular el área bajo la demanda desde 0 hasta $$ q_e $$:

$$
\int_0^{q_e} \left(-\frac{67}{100}q + 126\right)dq = -\frac{67}{100}\cdot\frac{q^2}{2}\Big|_0^{q_e} + 126q\Big|_0^{q_e} = -\frac{67}{200}q_e^2 + 126\,q_e.
$$

2. Luego, el excedente del consumidor es:

$$
EC = \left(-\frac{67}{200}q_e^2 + 126\,q_e\right) - p_e\,q_e.
$$

Sustituimos $$ p_e $$:

$$
EC = -\frac{67}{200}q_e^2 + 126\,q_e - p_e\,q_e.
$$

Dado que $$ p_e \approx 117.61 $$ y $$ q_e \approx 12.53 $$, también se puede calcular mediante la fórmula para demanda lineal:

$$
EC = \frac{1}{2}\,(p_{\text{max}} - p_e)q_e,
$$

donde $$ p_{\text{max}} $$ es el precio máximo (intersección de la demanda con el eje $$ p $$) al poner $$ q=0 $$:

$$
p_{\text{max}} = 126.
$$

Entonces:

$$
EC = \frac{1}{2}\,(126 - 117.61)(12.53) \approx \frac{1}{2}\,(8.39)(12.53) \approx \frac{1}{2}\,(105.2) \approx 52.6.
$$

Así, el excedente del consumidor es de aproximadamente $$ 52.6 $$ unidades monetarias.

---

**3. Excedente del productor**

El excedente del productor es el área entre el precio de equilibrio y la curva de oferta, desde $$ q=0 $$ hasta $$ q=q_e $$. Se define como:

$$
EP = p_e\,q_e - \int_0^{q_e} p_{\text{s}}(q)dq,
$$

donde la función de oferta es

$$
p_{\text{s}}(q) = \frac{13}{25}q^2 + 36.
$$

Procedemos en dos pasos:

1. Calcular la integral:

$$
\int_0^{q_e}\left(\frac{13}{25}q^2 + 36\right)dq = \frac{13}{25}\cdot\frac{q^3}{3}\Big|_0^{q_e} + 36\,q\Big|_0^{q_e} = \frac{13}{75}q_e^3 + 36\,q_e.
$$

2. Entonces:

$$
EP = p_e\,q_e - \left(\frac{13}{75}q_e^3 + 36\,q_e\right) = q_e\,(p_e-36) - \frac{13}{75}q_e^3.
$$

Utilizando $$ q_e \approx 12.53 $$ y $$ p_e \approx 117.61 $$:

- Primero, $$ p_e - 36 \approx 117.61 - 36 = 81.61 $$.
- Luego, $$ q_e\,(p_e-36) \approx 12.53 \times 81.61 \approx 1022.4 $$.
- Calculemos $$ q_e^3 $$: $$ 12.53^3 \approx 12.53 \times 12.53 \times 12.53 \approx 1964 $$ (aproximadamente).
- Entonces, $$ \frac{13}{75}q_e^3 \approx \frac{13}{75} \times 1964 \approx \frac{25532}{75} \approx 340.4 $$.

Finalmente,

$$
EP \approx 1022.4 - 340.4 \approx 682.0.
$$

Por lo tanto, el excedente del productor es de aproximadamente $$ 682.0 $$ unidades monetarias.

---

**Resumen**

- Punto de equilibrio: $$\displaystyle (q_e, p_e) \approx (12.53,\ 117.61)$$.
- Excedente del consumidor: $$\displaystyle EC \approx 52.6$$.
- Excedente del productor: $$\displaystyle EP \approx 682.0$$.
**Punto de Equilibrio:** - Cantidad: aproximadamente 12.53 - Precio: aproximadamente 117.61 **Excedente del Consumidor:** - Aproximadamente 52.6 unidades monetarias **Excedente del Productor:** - Aproximadamente 682.0 unidades monetarias

Considerando la ecuación de demanda y la
ecuación de oferta , calcule el punto de equilibrio
del mercado; posteriormente calcule el excedente de los
consumidores y el excedente de los fabricantes.

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