Область значений функции \( y=\frac{x^{2}-4 x+4}{x^{2}-4 x+3} \)

Посмотрим на функцию \( y=\frac{x^{2}-4x+4}{x^{2}-4x+3} \) и упростим ее. В числителе мы можем заметить, что \( x^{2}-4x+4 = (x-2)^{2} \), а в знаменателе \( x^{2}-4x+3 = (x-3)(x-1) \). Таким образом, функция принимает вид: \[ y = \frac{(x-2)^{2}}{(x-3)(x-1)}. \] Теперь нужно определить область значения. Значение функции ограничено, кроме точек, где знаменатель равен нулю: \( x=3 \) и \( x=1 \). Теперь, рассматривая асимптотическое поведение, мы видим, что при \( x \to \infty \) и \( x \to -\infty \) функция стремится к \( 1 \). Однако \( y \) не может принимать значение \( 1 \), так как это не соответствует ни одной точке на графике. Поэтому образуется разрыв. Таким образом, область значений этой функции равна всем действительным числам, кроме \( 1 \). В итоге: \[ \text{Область значений: } y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. \]