\( \iint_{D} \frac{d x d y}{(1+x+y)^{2}} \) där \( D \) är det rektangulära området med hörn i \( (0,0),(1,0),(1,2) \) och \( (0,2) \),

Vi betraktar integralen \[ I=\iint_{D}\frac{dx\,dy}{(1+x+y)^2}, \] där området \( D \) är det rektangulära området med \( x\in[0,1] \) och \( y\in[0,2] \). Vi kan därmed skriva \[ I=\int_{y=0}^{2}\int_{x=0}^{1}\frac{dx\,dy}{(1+x+y)^2}. \] ### Steg 1. Integrera med avseende på \( x \) För en fixerad \( y \) betraktar vi innerintegralen \[ I_1(y)=\int_{x=0}^{1}\frac{dx}{(1+x+y)^2}. \] Vi gör variabelsubstitution \[ u=1+x+y,\quad du=dx. \] När \( x=0 \) får vi \( u=1+y \) och när \( x=1 \) får vi \( u=2+y \). Då blir integralen \[ I_1(y)=\int_{u=1+y}^{2+y}\frac{du}{u^2}. \] Integralen \[ \int \frac{du}{u^2} \] kan vi skriva som \[ \int u^{-2}\,du=-\frac{1}{u}+C. \] Därför får vi \[ I_1(y)=\left[-\frac{1}{u}\right]_{u=1+y}^{2+y} = -\frac{1}{2+y}+\frac{1}{1+y}=\frac{1}{1+y}-\frac{1}{2+y}. \] ### Steg 2. Integrera med avseende på \( y \) Vi har nu \[ I=\int_{y=0}^{2}\left(\frac{1}{1+y}-\frac{1}{2+y}\right)dy. \] Vi delar upp integralen i två delar: \[ I=\int_{0}^{2}\frac{dy}{1+y}-\int_{0}^{2}\frac{dy}{2+y}. \] #### Delintegral 1 \[ \int_{0}^{2}\frac{dy}{1+y}. \] Låt \( v=1+y \) så att \( dv=dy \). När \( y=0 \) får vi \( v=1 \) och när \( y=2 \) får vi \( v=3 \). Därmed blir \[ \int_{1}^{3}\frac{dv}{v}=\ln|v|\Big|_{1}^{3}=\ln3-\ln1=\ln3. \] #### Delintegral 2 \[ \int_{0}^{2}\frac{dy}{2+y}. \] Låt \( w=2+y \) så att \( dw=dy \). När \( y=0 \) får vi \( w=2 \) och när \( y=2 \) får vi \( w=4 \). Då blir integralen \[ \int_{2}^{4}\frac{dw}{w}=\ln|w|\Big|_{2}^{4}=\ln4-\ln2=\ln\frac{4}{2}=\ln2. \] ### Steg 3. Sätt ihop resultaten Sätt ihop delintegralerna: \[ I=\ln3-\ln2=\ln\frac{3}{2}. \] Svaret är alltså \[ I=\ln\frac{3}{2}. \]