Encuentra dos números cuya diferencia sea 50 y su producto mínimo.

Question

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Para resolver el problema, vamos a seguir estos pasos:

1. **Definir las variables**: 
   - Sea $$ x $$ el primer número.
   - Sea $$ y $$ el segundo número.

2. **Condiciones conocidas**:
   - La diferencia entre los dos números es 50: 
     $$
     x - y = 50
     $$
   - Queremos minimizar el producto $$ P = x \cdot y $$.

3. **Expresar $$ y $$ en términos de $$ x $$**:
   De la ecuación de la diferencia, podemos despejar $$ y $$:
   $$
   y = x - 50
   $$

4. **Sustituir $$ y $$ en la función del producto**:
   Ahora sustituimos $$ y $$ en la expresión del producto:
   $$
   P = x \cdot (x - 50) = x^2 - 50x
   $$

5. **Encontrar el mínimo del producto**:
   Para encontrar el mínimo, derivamos $$ P $$ con respecto a $$ x $$ y igualamos a cero:
   $$
   \frac{dP}{dx} = 2x - 50
   $$
   Igualamos a cero:
   $$
   2x - 50 = 0
   $$
   Resolviendo para $$ x $$:
   $$
   2x = 50 \implies x = 25
   $$

6. **Encontrar $$ y $$**:
   Sustituyendo $$ x $$ en la ecuación de $$ y $$:
   $$
   y = 25 - 50 = -25
   $$

7. **Conclusión**:
   Los dos números son $$ 25 $$ y $$ -25 $$.

Por lo tanto, los dos números cuya diferencia es 50 y cuyo producto es mínimo son $$ 25 $$ y $$ -25 $$.
Los dos números son 25 y -25.

Encuentra dos números cuya diferencia sea 50 y su producto mínimo.

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