12 Halla las razones trigonométricas para el ángulo
cuyo vértice es , si su lado inicial coincide con
el eje y su lado terminal pasa por el punto dado.

Ask by Alexander Rojas. in Colombia

Mar 10,2025

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12 Halla las razones trigonométricas para el ángulo
cuyo vértice es , si su lado inicial coincide con
el eje y su lado terminal pasa por el punto dado.

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Mar 10,2025

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**a. Para el punto $$(3,1)$$:**

- Calcular la hipotenusa:
  
  $$
  r=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}
  $$

- Razones trigonométricas:

$$
  \cos\theta=\frac{3}{\sqrt{10}},\qquad \sin\theta=\frac{1}{\sqrt{10}},\qquad \tan\theta=\frac{1}{3}
  $$
  
  $$
  \sec\theta=\frac{\sqrt{10}}{3},\qquad \csc\theta=\sqrt{10},\qquad \cot\theta=3
  $$

---

**b. Para el punto $$(1,3)$$:**

- Calcular la hipotenusa:
  
  $$
  r=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}
  $$

- Razones trigonométricas:

$$
  \cos\theta=\frac{1}{\sqrt{10}},\qquad \sin\theta=\frac{3}{\sqrt{10}},\qquad \tan\theta=3
  $$
  
  $$
  \sec\theta=\sqrt{10},\qquad \csc\theta=\frac{\sqrt{10}}{3},\qquad \cot\theta=\frac{1}{3}
  $$

---

**c. Para el punto $$(1,1)$$:**

- Calcular la hipotenusa:
  
  $$
  r=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}
  $$

- Razones trigonométricas:

$$
  \cos\theta=\frac{1}{\sqrt{2}},\qquad \sin\theta=\frac{1}{\sqrt{2}},\qquad \tan\theta=1
  $$
  
  $$
  \sec\theta=\sqrt{2},\qquad \csc\theta=\sqrt{2},\qquad \cot\theta=1
  $$

---

**d. Para el punto $$(2,2)$$:**

- Calcular la hipotenusa:
  
  $$
  r=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}
  $$

- Razones trigonométricas:

$$
  \cos\theta=\frac{2}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}},\qquad \sin\theta=\frac{2}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}},\qquad \tan\theta=1
  $$
  
  $$
  \sec\theta=\sqrt{2},\qquad \csc\theta=\sqrt{2},\qquad \cot\theta=1
  $$
**Razones trigonométricas para los puntos:** - **a. $$(3,1)$$:** - $$\cos\theta = \frac{3}{\sqrt{10}}$$ - $$\sin\theta = \frac{1}{\sqrt{10}}$$ - $$\tan\theta = \frac{1}{3}$$ - $$\sec\theta = \frac{\sqrt{10}}{3}$$ - $$\csc\theta = \sqrt{10}$$ - $$\cot\theta = 3$$ - **b. $$(1,3)$$:** - $$\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{10}}$$ - $$\sin\theta = \frac{3}{\sqrt{10}}$$ - $$\tan\theta = 3$$ - $$\sec\theta = \sqrt{10}$$ - $$\csc\theta = \frac{\sqrt{10}}{3}$$ - $$\cot\theta = \frac{1}{3}$$ - **c. $$(1,1)$$:** - $$\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$$ - $$\sin\theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$$ - $$\tan\theta = 1$$ - $$\sec\theta = \sqrt{2}$$ - $$\csc\theta = \sqrt{2}$$ - $$\cot\theta = 1$$ - **d. $$(2,2)$$:** - $$\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$$ - $$\sin\theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$$ - $$\tan\theta = 1$$ - $$\sec\theta = \sqrt{2}$$ - $$\csc\theta = \sqrt{2}$$ - $$\cot\theta = 1$$

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cuyo vértice es , si su lado inicial coincide con
el eje y su lado terminal pasa por el punto dado.

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cuyo vértice es , si su lado inicial coincide con
el eje y su lado terminal pasa por el punto dado.