La función de demanda para el fabricante de un producto es \( \mathrm{p}=\mathrm{f}(\mathrm{q})=-0.14 \mathrm{q}+224 \), donde p es el precio por unidad cuando se demandan q unidades (diarias). Determine el nivel de producción que maximiza el ingreso total del fabricante \( y \) calcule este ingreso.

Se tiene la función de demanda: p = f(q) = –0.14q + 224, donde p es el precio unitario y q la cantidad diaria. El ingreso total (y) se expresa como el producto del precio por la cantidad:   y = p · q = (–0.14q + 224) · q = –0.14q² + 224q Esta es una función cuadrática de la forma y = aq² + bq con a = –0.14 y b = 224. Como a < 0, la función es cóncava hacia abajo y, por lo tanto, tiene un máximo en su vértice. Para hallar el valor de q que maximiza y, usamos la fórmula del vértice en una parábola:   q = –b / (2a) Sustituyendo los valores:   q = –224 / (2 · (–0.14)) = 224 / 0.28 = 800 Por lo tanto, la producción que maximiza el ingreso es de 800 unidades. Ahora, para calcular el ingreso máximo, evaluamos y en q = 800:   y = –0.14 · (800)² + 224 · 800 Primero, calculamos (800)²:   800² = 640,000 Luego:   –0.14 · 640,000 = –89,600   224 · 800 = 179,200 Sumando ambos términos:   y = –89,600 + 179,200 = 89,600 Así, el ingreso total máximo es de 89,600. Resumen:  • Nivel de producción que maximiza el ingreso: 800 unidades.  • Ingreso total máximo: 89,600.