Answer
График функции \( y = -x^2 + 3x - 2 \) представляет собой параболу, открыта вниз с вершиной в точке \( \left(\frac{3}{2}, \frac{1}{4}\right) \). Она пересекает ось \( x \) в точках \( (1,0) \) и \( (2,0) \), а ось \( y \) в точке \( (0,-2) \). График симметричен относительно прямой \( x = \frac{3}{2} \) и имеет область значений \( y \leq \frac{1}{4} \).
Solution
1. Запишем функцию:
\[
y = -x^2 + 3x - 2.
\]
2. Найдём координаты вершины параболы. Для функции \( y = ax^2 + bx + c \) координата \( x \) вершины находится по формуле
\[
x_{\text{верш}} = -\frac{b}{2a}.
\]
Здесь \( a = -1 \) и \( b = 3 \), поэтому
\[
x_{\text{верш}} = -\frac{3}{2(-1)} = \frac{3}{2}.
\]
Подставим \( x = \frac{3}{2} \) в выражение функции:
\[
y = -\left(\frac{3}{2}\right)^2 + 3\left(\frac{3}{2}\right) - 2 = -\frac{9}{4} + \frac{9}{2} - 2.
\]
Приведём к общему знаменателю:
\[
y = -\frac{9}{4} + \frac{18}{4} - \frac{8}{4} = \frac{-9 + 18 - 8}{4} = \frac{1}{4}.
\]
Таким образом, вершина параболы имеет координаты
\[
\left(\frac{3}{2}, \frac{1}{4}\right).
\]
3. Найдём нули функции (точки пересечения с осью \( x \)). Решим уравнение
\[
-x^2 + 3x - 2 = 0.
\]
Умножим уравнение на \(-1\):
\[
x^2 - 3x + 2 = 0.
\]
Разложим на множители:
\[
(x-1)(x-2) = 0.
\]
Поэтому
\[
x = 1 \quad \text{или} \quad x = 2.
\]
Таким образом, точки пересечения с осью \( x \) – это \( (1,0) \) и \( (2,0) \).
4. Найдём точку пересечения с осью \( y \) (при \( x = 0 \)):
\[
y = -0^2 + 3\cdot0 -2 = -2.
\]
Получаем точку
\[
(0, -2).
\]
5. Поскольку коэффициент при \( x^2 \) равен \( -1 \) (то есть \( a < 0 \)), парабола открыта вниз, а вершина является точкой максимума. Таким образом, область значений функции:
\[
y \le \frac{1}{4}.
\]
6. Для построения графика отметим следующие ключевые точки:
- Вершина: \( \left(\frac{3}{2}, \frac{1}{4}\right) \),
- Нули: \( (1,0) \) и \( (2,0) \),
- Пересечение с осью \( y \): \( (0,-2) \).
Линия симметрии параболы проходит через вершину и имеет уравнение
\[
x = \frac{3}{2}.
\]
7. По отмеченным точкам можно построить график параболы, которая проходит через точки \( (1,0) \) и \( (2,0) \), имеет вершину \( \left(\frac{3}{2}, \frac{1}{4}\right) \) и пересекает ось \( y \) в точке \( (0,-2) \). График представляет собой кривую, симметричную относительно прямой \( x = \frac{3}{2} \) и открывающуюся вниз.
Таким образом, график функции \( y=-x^2+3x-2 \) имеет указанные характеристики.
Answered by UpStudy AI and reviewed by a Professional Tutor
Explain
Simplify this solution
