2. Hallar la ecuación de la circunferencia con centro en \( (4,0) \) y radio 5 . 3. Hallar la ecuación de la circunferencia, que pasa por el origen y tiene su centro en \( (0,5) \). 4. Hallar la ecuación de la circunferencia con centro \( (0,5) \) y radio 5 . 5. Hallar la ecuación de la circunferencia con centro en \( (4,-1) \) y que pase por \( (-1,3) \).

**2. Ecuación de la circunferencia con centro en \( (4,0) \) y radio 5** - La fórmula general de la circunferencia es: \[ (x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2, \] donde \((h,k)\) es el centro y \(r\) el radio. - Reemplazando \(h=4\), \(k=0\) y \(r=5\), se tiene: \[ (x-4)^2 + (y-0)^2 = 5^2. \] - Simplificando, la ecuación es: \[ (x-4)^2 + y^2 = 25. \] --- **3. Ecuación de la circunferencia que pasa por el origen y tiene centro en \( (0,5) \)** - La fórmula general es: \[ (x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2. \] - El centro es \((0,5)\) y el radio se determina midiendo la distancia desde el centro hasta el origen \((0,0)\): \[ r = \sqrt{(0-0)^2 + (0-5)^2} = \sqrt{0+25} = 5. \] - Por lo tanto, al sustituir \(h=0\), \(k=5\) y \(r=5\): \[ (x-0)^2 + (y-5)^2 = 5^2, \] lo que se simplifica a: \[ x^2 + (y-5)^2 = 25. \] --- **4. Ecuación de la circunferencia con centro \( (0,5) \) y radio 5** - Directamente, usando la fórmula de la circunferencia: \[ (x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2, \] con \(h=0\), \(k=5\) y \(r=5\): - La ecuación se obtiene como: \[ (x-0)^2 + (y-5)^2 = 5^2 \quad \Longrightarrow \quad x^2 + (y-5)^2 = 25. \] --- **5. Ecuación de la circunferencia con centro en \( (4,-1) \) y que pasa por \( (-1,3) \)** - La fórmula general es: \[ (x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2. \] - Con el centro en \( (4,-1) \), se tiene \(h=4\) y \(k=-1\). Para obtener el radio \(r\), se calcula la distancia entre el centro \((4,-1)\) y el punto \( (-1,3)\): \[ r = \sqrt{(-1-4)^2 + (3-(-1))^2} = \sqrt{(-5)^2 + (4)^2} = \sqrt{25+16} = \sqrt{41}. \] - La ecuación de la circunferencia es, por lo tanto: \[ (x-4)^2 + (y+1)^2 = (\sqrt{41})^2, \] que se simplifica a: \[ (x-4)^2 + (y+1)^2 = 41. \]