Sia \( A B C \) un triangolo, in cui lampiezza (in gradi) dellangolo \( \hat{C} \) è \( x \) e lam- piexa dell'angolo \( \hat{A} \) supera di \( 10^{\circ} \) quella di \( \hat{C} \). Indicato con Pil punto di interse- zione delle bisettrici alegli angoli \( \hat{A} \) e \( \hat{B} \), esprimi in funzione di \( x \) l'ampiezza dellangolo \( A \hat{P B} \). \[ \left|90^{\circ}+\frac{x}{2}\right| \]

In un triangolo, la somma degli angoli interni è sempre \(180^\circ\). Quindi, se l'angolo \( \hat{C} \) è \( x \) e \( \hat{A} \) supera \( \hat{C} \) di \( 10^\circ \), possiamo esprimere l'angolo \( \hat{A} \) come \( x + 10^\circ \). Di conseguenza, l'angolo \( \hat{B} \) sarà dato da \( 180^\circ - (x + 10^\circ + x) = 180^\circ - 2x - 10^\circ = 170^\circ - 2x \). Ora, \( \hat{A} \hat{P B} \) è formato dalle bisettrici degli angoli \( \hat{A} \) e \( \hat{B} \). L'angolo \( A \hat{P B} \) sarà quindi dato dalla formula: \[ \hat{A} \hat{P B} = \frac{1}{2}(\hat{A} + \hat{B}) = \frac{1}{2}\left((x + 10^\circ) + (170^\circ - 2x)\right) = \frac{1}{2}(180^\circ - x + 10^\circ) = 90^\circ - \frac{x}{2} \] Pertanto, l'ampiezza dell'angolo \( A \hat{P B} \) è espressa in funzione di \( x \) come: \[ 90^\circ - \frac{x}{2} \]