II Determina si las siguientes funciones son continua en dichos puntos \( \begin{array}{ll}\text { 1. } f(x)=x^{2}+2 x-2, & a=3 \\ \text { 2. } f(x)=x^{2}+4 / x-3, & a=3 \\ \text { 3. } f(x)=x^{2}+2 x, & a=2 \\ \left.\text { 4. } f(x)=x^{2}+3 x-6 / x-4\right), & a=4 \\ \text { 5. } f(x)=x^{2}+8 x-9 / x-1, & a=1\end{array} \)

1. Dada la función \[ f(x)=x^{2}+2x-2, \] es un polinomio, y los polinomios son continuos en todo \(\mathbb{R}\). Así que en \(a=3\) la función es continua. 2. La función \[ f(x)=x^{2}+\frac{4}{x}-3, \] está definida para todo \(x\neq 0\). Como \(a=3\) no es un punto crítico (el problema ocurre en \(x=0\)), la función es continua en \(a=3\). 3. Para \[ f(x)=x^{2}+2x, \] se trata de un polinomio, el cual es continuo en todos los puntos. Por lo tanto, en \(a=2\) la función es continua. 4. La función \[ f(x)=\frac{x^{2}+3x-6}{x-4} \] tiene denominador \(x-4\). Al evaluar en \(a=4\), el denominador se anula, es decir, \(4-4=0\). Se verifica que el numerador para \(x=4\) es: \[ 4^{2}+3(4)-6=16+12-6=22\neq 0. \] Por lo tanto, en \(x=4\) se presenta una discontinuidad esencial (no removible) y la función no es continua en \(a=4\). 5. Consideramos la función \[ f(x)=\frac{x^{2}+8x-9}{x-1}. \] Factorizamos el numerador: \[ x^{2}+8x-9=(x+9)(x-1). \] Entonces, para \(x\neq 1\), se tiene \[ f(x)=\frac{(x+9)(x-1)}{x-1}=x+9. \] Ahora bien, en \(a=1\) el denominador se anula, por lo que la función, tal como está definida, no está definida en \(x=1\) y por ello no es continua en ese punto. No obstante, se observa que existe una discontinuidad removible, pues se puede definir \(f(1)=1+9=10\) para obtener una función continua en \(x=1\). Pero según la definición dada de la función, en \(a=1\) la función no es continua.