9. La ecuación que expresa la forma de encontrar las raíces de \( w^{2}=1+i \) es: \( \begin{array}{ll}\text { a) } z=\sqrt[4]{2}\left[\cos \frac{\pi}{8}\left(1+8 k-i \operatorname{sen} \frac{\pi}{8}(1+8 k)\right]\right. & \text { b) } z=\sqrt{2}\left[\cos \frac{\pi}{8}\left(1+8 k+i \operatorname{sen} \frac{\pi}{8}(1+8 k)\right]\right. \\ \text { c) } z=\sqrt[4]{2}\left[\cos \frac{\pi}{8}\left(\left.1+8 k+i \operatorname{sen} \frac{\pi}{8} \right\rvert\, 1+8 k\right)\right] & \text { d) } z=\sqrt{2}\left[\cos \frac{\pi}{8}\left(1+8 k\left|-i \operatorname{sen} \frac{\pi}{8}\right| 1+8 k\right)\right]\end{array} \)

Sea la ecuación \[ w^2 = 1+i. \] El primer paso es expresar el número complejo \(1+i\) en forma polar. Recordando que para un complejo \(a+bi\) se tiene \[ r = \sqrt{a^2+b^2} \quad \text{y} \quad \theta = \arctan\frac{b}{a}, \] encontramos: \[ r=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2} \quad \text{y} \quad \theta=\arctan 1=\frac{\pi}{4}. \] Así, \(1+i\) se escribe como \[ 1+i=\sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right). \] Para hallar las raíces cuadradas de \(1+i\), buscamos \(w\) tal que \[ w=\sqrt[2]{1+i}=(1+i)^{1/2}. \] Aplicamos la fórmula de De Moivre para raíces, que en general para obtener la raíz \(n\)-ésima se da por \[ w=\sqrt[n]{r}\left[\cos\frac{\theta+2\pi k}{n}+i\sin\frac{\theta+2\pi k}{n}\right], \quad k=0,1,\ldots,n-1. \] En nuestro caso \(n=2\), por lo que: \[ w=\sqrt[2]{\sqrt{2}}\left[\cos\frac{\frac{\pi}{4}+2\pi k}{2}+i\sin\frac{\frac{\pi}{4}+2\pi k}{2}\right]. \] Simplificamos \(\sqrt[2]{\sqrt{2}}=\sqrt[4]{2}\) y la parte angular: \[ \frac{\frac{\pi}{4}+2\pi k}{2}=\frac{\pi}{8}+\pi k. \] Por tanto, las raíces son \[ w=\sqrt[4]{2}\left[\cos\left(\frac{\pi}{8}+\pi k\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{8}+\pi k\right)\right],\quad k=0,1. \] Podemos notar que escribir la suma \(\frac{\pi}{8}+\pi k\) es equivalente a factorizar el \( \frac{\pi}{8}\) de la siguiente manera: \[ \frac{\pi}{8}+\pi k=\frac{\pi}{8}(1+8k). \] Por ello, la expresión anterior se transforma en \[ w=\sqrt[4]{2}\left[\cos\frac{\pi}{8}(1+8k)+i\sin\frac{\pi}{8}(1+8k)\right]. \] De las opciones dadas, la opción que corresponde es la opción c: \[ z=\sqrt[4]{2}\left[\cos\frac{\pi}{8}(1+8k)+i\sin\frac{\pi}{8}(1+8k)\right]. \] Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción c.