Um grupo de 60 pessoas, das quais estavam incluidas as immãs Vânia e Bianca, inscreveram-se para participar de uma seleção de emprego. A empresa contratante deseja escolher 5 pessoas desse grupo. Quantos grupos distintos ela poderia escolher de forma que as irmãs não estivessem juntas em um mesmo grupo? A $$ A_{58,3} $$ B $$ C_{60,5} $$ C $$ A_{60,5}-A_{58,3} $$ D $$ C_{60,5} $$ $$ -C_{58,3} $$ E $$ C_{60,5} $$ - $$ C_{60,3} $$

Question

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Para resolver o problema, vamos seguir os passos necessários para calcular o número de grupos distintos de 5 pessoas que podem ser escolhidos de um grupo de 60 pessoas, garantindo que as irmãs Vânia e Bianca não estejam juntas.

### Passo 1: Calcular o total de combinações sem restrições

Primeiro, vamos calcular o total de combinações possíveis de 5 pessoas entre 60, sem considerar a restrição das irmãs. Isso é dado pela combinação $$ C_{60,5} $$:

$$
C_{60,5} = \frac{60!}{5!(60-5)!}
$$

### Passo 2: Calcular o número de combinações onde as irmãs estão juntas

Agora, vamos considerar o caso em que as irmãs Vânia e Bianca estão juntas. Podemos tratá-las como uma única "pessoa" ou "unidade". Assim, temos:

- 1 unidade (Vânia e Bianca juntas)
- 58 outras pessoas

Portanto, temos 59 "pessoas" (1 unidade + 58 pessoas) e precisamos escolher 4 delas (já que as irmãs contam como uma). O número de combinações é dado por $$ C_{59,4} $$:

$$
C_{59,4} = \frac{59!}{4!(59-4)!}
$$

### Passo 3: Calcular o número de combinações onde as irmãs não estão juntas

Para encontrar o número de grupos em que as irmãs não estão juntas, subtraímos o número de grupos onde elas estão juntas do total de grupos:

$$
C_{60,5} - C_{59,4}
$$

### Passo 4: Identificar a alternativa correta

Agora, vamos verificar as opções dadas:

A) $$ A_{58,3} $$  
B) $$ C_{60,5} $$  
C) $$ A_{60,5} - A_{58,3} $$  
D) $$ C_{60,5} - C_{58,3} $$  
E) $$ C_{60,5} - C_{60,3} $$

A expressão que encontramos foi $$ C_{60,5} - C_{59,4} $$. No entanto, $$ C_{59,4} $$ não está diretamente nas opções. Vamos reescrever $$ C_{59,4} $$:

$$
C_{59,4} = C_{60,5} - C_{60,3}
$$

Portanto, a expressão correta para o número de grupos onde as irmãs não estão juntas é:

$$
C_{60,5} - C_{59,4} = C_{60,5} - (C_{60,5} - C_{60,3}) = C_{60,3}
$$

Assim, a alternativa correta é:

**E) $$ C_{60,5} - C_{60,3} $$**.
A resposta correta é a alternativa E: $$ C_{60,5} - C_{60,3} $$.

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