Variables Separables \( 2\left(1+y^{2}\right) d x+x y d y=3 x y \)

Consideremos la ecuación \[ 2\left(1+y^2\right)\,dx + x y\,dy = 3xy, \] y observemos que se trata de una ecuación diferencial que se puede interpretar en la forma de una ecuación en \(x\) como función de \(y\). Para ello, recordamos que \(x\) depende de \(y\) y que, por tanto, \(dx = x'(y)\,dy\). 1. Reescribimos la ecuación sustituyendo \(dx = x'(y)\,dy\): \[ 2\left(1+y^2\right)x'(y)\,dy + x y\,dy = 3xy. \] Como el término derecho no lleva \(dy\), interpretamos que la ecuación original debe leerse en términos de \(dy\). Los dos primeros términos están multiplicados por \(dy\), por lo que vamos a escribir toda la ecuación en función de \(dy\). Para ello, suponemos que: \[ 2\left(1+y^2\right)x'(y) + x y = 3xy. \] 2. Simplificamos la ecuación: \[ 2\left(1+y^2\right)x'(y) = 3xy - xy = 2xy. \] 3. Dividimos ambos lados por \(2\left(1+y^2\right)\) (asumiendo que \(1+y^2 \neq 0\), lo cual es siempre cierto): \[ x'(y) = \frac{2xy}{2\left(1+y^2\right)} = \frac{x y}{1+y^2}. \] 4. Escribimos la ecuación en forma separable: \[ \frac{x'(y)}{x} = \frac{y}{1+y^2}. \] Recordando que \(x'(y)\,dy = dx\), podemos reescribir la expresión anterior como: \[ \frac{dx}{x} = \frac{y}{1+y^2}\,dy. \] 5. Integramos ambos lados: \[ \int \frac{dx}{x} = \int \frac{y}{1+y^2}\,dy. \] 6. Evaluamos las integrales: - Lado izquierdo: \[ \int \frac{dx}{x} = \ln |x| + C_1. \] - Lado derecho: Realizamos el cambio de variable \(u = 1+y^2\) de modo que \(du = 2y\,dy\); luego \[ \int \frac{y}{1+y^2}\,dy = \frac{1}{2}\int \frac{du}{u} = \frac{1}{2}\ln |u| + C_2 = \frac{1}{2}\ln|1+y^2| + C_2. \] 7. Igualando los resultados (absorbiendo las constantes en una sola constante \(C\)): \[ \ln |x| = \frac{1}{2}\ln|1+y^2| + C, \] o equivalentemente, \[ \ln\left| \frac{x}{(1+y^2)^{\frac{1}{2}}} \right| = C. \] 8. Exponenciamos ambos lados para despejar \(x\): \[ \left| \frac{x}{\sqrt{1+y^2}} \right| = e^C. \] Como \(e^C\) es una constante positiva, la denotamos por \(k > 0\) y, omitiendo el valor absoluto, la solución general se puede escribir como: \[ \frac{x}{\sqrt{1+y^2}} = C, \] donde \(C\) es constante arbitraria (puede tomar cualquier valor real). La solución final es: \[ \boxed{\frac{x}{\sqrt{1+y^2}} = C.} \]