Answer
La région est définie par \( r \geq \frac{1}{2} \) et \( r \leq \sin^2(\theta) \). Pour calculer l'aire, on intègre entre \( \theta = \frac{\pi}{4} \) et \( \theta = \frac{3\pi}{4} \). L'aire totale est \( \frac{3\pi}{16} + \frac{1}{2} \).
Solution
Soit la région \( R \) définie en coordonnées polaires par les inégalités
\[
r\ge \frac{1}{2} \quad \text{et} \quad r\le \sin^2\theta.
\]
Cette région n’existe que pour les angles \(\theta\) tels que
\[
\sin^2\theta\ge \frac{1}{2}\,.
\]
1. Détermination des intervalles angulaires
Pour trouver les \(\theta\) tels que
\[
\sin^2\theta=\frac{1}{2}\,,
\]
on résout
\[
|\sin\theta|=\frac{1}{\sqrt{2}}\quad \Longrightarrow \quad \theta=\frac{\pi}{4},\; \frac{3\pi}{4},\; \frac{5\pi}{4},\; \frac{7\pi}{4}\,.
\]
Ainsi, \( \sin^2\theta\ge \frac{1}{2}\) pour \(\theta\) dans les intervalles
\[
\left[\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4}\right] \quad \text{et} \quad \left[\frac{5\pi}{4},\frac{7\pi}{4}\right]\,.
\]
2. Expression de l’aire
En coordonnées polaires, l’élément d’aire est
\[
dA=\frac{1}{2}r^2\,d\theta\,.
\]
La région qui nous intéresse est délimitée par \( r=\frac{1}{2} \) (borne intérieure) et \( r=\sin^2\theta \) (borne extérieure). Ainsi, pour \(\theta\) fixé, l’aire différentielle de la portion entre ces deux courbes est
\[
dA=\frac{1}{2}\Bigl[(\sin^2\theta)^2-\Bigl(\frac{1}{2}\Bigr)^2\Bigr]d\theta\,.
\]
L’aire totale est donc donnée par
\[
A=\frac{1}{2}\left\{ \int_{\pi/4}^{3\pi/4}\Bigl[(\sin^2\theta)^2-\Bigl(\frac{1}{2}\Bigr)^2\Bigr]d\theta+\int_{5\pi/4}^{7\pi/4}\Bigl[(\sin^2\theta)^2-\Bigl(\frac{1}{2}\Bigr)^2\Bigr]d\theta\right\}\,.
\]
Par symétrie des deux intervalles, on peut écrire
\[
A=\int_{\pi/4}^{3\pi/4}\left[\sin^4\theta-\frac{1}{4}\right]d\theta\,.
\]
3. Calcul de l’intégrale
Nous devons calculer
\[
I=\int_{\pi/4}^{3\pi/4}\left[\sin^4\theta-\frac{1}{4}\right]d\theta
=\int_{\pi/4}^{3\pi/4}\sin^4\theta\,d\theta-\frac{1}{4}\int_{\pi/4}^{3\pi/4}d\theta\,.
\]
Utilisons l’identité connue
\[
\sin^4\theta=\frac{3}{8}-\frac{1}{2}\cos(2\theta)+\frac{1}{8}\cos(4\theta)\,.
\]
a) Calcul de \(\displaystyle \int_{\pi/4}^{3\pi/4}\sin^4\theta\,d\theta\) :
\[
\int_{\pi/4}^{3\pi/4}\sin^4\theta\,d\theta=\int_{\pi/4}^{3\pi/4}\left(\frac{3}{8}-\frac{1}{2}\cos2\theta+\frac{1}{8}\cos4\theta\right)d\theta\,.
\]
Intégrons terme à terme :
- \(\displaystyle \int \frac{3}{8}\,d\theta=\frac{3}{8}\theta\).
- \(\displaystyle \int -\frac{1}{2}\cos2\theta\,d\theta = -\frac{1}{2}\cdot\frac{\sin2\theta}{2}=-\frac{1}{4}\sin2\theta\).
- \(\displaystyle \int \frac{1}{8}\cos4\theta\,d\theta = \frac{1}{8}\cdot\frac{\sin4\theta}{4}=\frac{1}{32}\sin4\theta\).
Ainsi, la primitive est
\[
F(\theta)=\frac{3\theta}{8}-\frac{1}{4}\sin2\theta+\frac{1}{32}\sin4\theta\,.
\]
Évaluons aux bornes :
Pour \(\theta=\frac{3\pi}{4}\) :
\[
F\Bigl(\frac{3\pi}{4}\Bigr)=\frac{3(3\pi/4)}{8}-\frac{1}{4}\sin\Bigl(\frac{3\pi}{2}\Bigr)+\frac{1}{32}\sin(3\pi)
=\frac{9\pi}{32}-\frac{1}{4}(-1)+0
=\frac{9\pi}{32}+\frac{1}{4}\,.
\]
Pour \(\theta=\frac{\pi}{4}\) :
\[
F\Bigl(\frac{\pi}{4}\Bigr)=\frac{3(\pi/4)}{8}-\frac{1}{4}\sin\Bigl(\frac{\pi}{2}\Bigr)+\frac{1}{32}\sin\pi
=\frac{3\pi}{32}-\frac{1}{4}(1)+0
=\frac{3\pi}{32}-\frac{1}{4}\,.
\]
La différence donne
\[
\int_{\pi/4}^{3\pi/4}\sin^4\theta\,d\theta=F\Bigl(\frac{3\pi}{4}\Bigr)-F\Bigl(\frac{\pi}{4}\Bigr)
=\left(\frac{9\pi}{32}+\frac{1}{4}\right)-\left(\frac{3\pi}{32}-\frac{1}{4}\right)
=\frac{6\pi}{32}+\frac{1}{2}
=\frac{3\pi}{16}+\frac{1}{2}\,.
\]
b) Calcul de \(\displaystyle \frac{1}{4}\int_{\pi/4}^{3\pi/4}d\theta\) :
La borne angulaire s’étend de \(\theta=\frac{\pi}{4}\) à \(\theta=\frac{3\pi}{4}\), soit une amplitude
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